Supongamos que$A$ es un dominio integral cerrado integralmente, y$K$ es su campo de fracción. Bueno ... esto puede ser una pregunta estúpida, pero ¿está cada cierre de$A$ entre$A$ y$K$ también integralmente cerrado? (Se sabe que esto es cierto si$A$ es un dominio de Dedekind, ver, por ejemplo, Jarden, Field Arithmetic , cap. 2).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dejar $A=K+YK[X,Y]$. Tenemos $Q(A)=K(X,Y)$. Para mostrar que$A$ está cerrado integralmente, observe que$A\subset K[X,Y]$, y el último timbre está cerrado integralmente. Si un elemento$z∈Q(A)$ es integral sobre$A$, entonces es integral sobre$K[X,Y]$, entonces pertenece a$K[X,Y]$. Ahora uno puede deshacerse de la parte de$z$ que pertenece a$A$ y obtener que$z=f(X)$ es integral sobre$A$, por lo tanto, más de$K$, así que$\deg f=0$.
Ahora considere$R=K[X^2]+YK[X,Y]$. Claramente,$R$ no está totalmente cerrado ya que$X$ es integral sobre$R$ y$X\notin R$.
