¿Por qué se entiende por homeomorfismo el estiramiento y la flexión?

Question

Una función de $f: X \to Y$ entre dos espacios topológicos $(X, T_X)$ $(Y, T_Y)$ se llama homeomorphism si tiene las siguientes propiedades:

• $f$ es un bijection (uno-a-uno y a)
• $f$ es continua
• la función inversa $f^{-1}$ es continua ($f$ es un abierto de asignación).

Es homeomorphism una definición formal de estiramiento y flexión de los objetos geométricos? Cómo podemos asegurarnos de que si esta es la definición correcta?

Tal vez debería pedir otra pregunta - ¿por qué es la topología define como "un área de las matemáticas que se trate con las propiedades del espacio que se conservan bajo continuo incluyendo deformaciones de flexión y de extensión, pero no lagrimeo o pegar."

Creo que no podemos comprobar esta afirmación debido a que las nociones de estiramiento y curvado son informales y se basa en nuestra intuitiva, razonamiento informal.

Hay homeomorphisms que no puede ser considerado como el estiramiento y flexión (no sé cuál es la prueba de ello, como no hemos definido de estiramiento y flexión oficialmente, este es mi mayor preocupación aquí) - ver la parte inferior de la página 22 en "Una guía de topología".

Incluso si aceptamos que algunos homeomorphisms no puede ser entendido como el estiramiento y desgarro (lo estiramiento y desgarro medio), podemos asumir que todos los estiramientos y derrumbamientos que pueden ser representadas por homeomorphism - ¿por qué? Alguien ha probado?

Estas son mis principales preocupaciones con respecto a la topología. He buscado a través de muchos libros acerca de la topología escrito por Munkres (Topología), Janich (Topología), Sidney Morris (Topología sin lágrimas), Armstrong (topología Básica). Ninguno de esos títulos que figura una explicación de por QUÉ topología es lo que es hoy. Ellos sólo para explicar lo que es.

Answer 1

Yo diría que acaba de salir como un informal, pero de una manera poderosa, de manera intuitiva, razón acerca de la topología.

En una situación análoga, computabilidad y decidability de problemas, puede ser definido matemáticamente, pero nunca se puede demostrar matemáticamente que estas definiciones realmente captar nuestra idea intuitiva de lo que puede ser calculada. La tesis de Church–Turing es un meta-matemática de la tesis que dice que esas definiciones realmente captar nuestra idea intuitiva de la computabilidad.

Si se la ve como una declaración filosófica acerca de la naturaleza de nuestro universo, realmente hay una fuerte evidencia en favor de la tesis de Church–Turing: Por un lado, todos los intentos de formalización de la computabilidad han demostrado ser equivalentes. Y por otro lado, como uno desarrolla un sentido de lo que es Turing–computable, uno encuentra que cualquier cosa que se ve intuitivamente computable también se ve Turing-computable y viceversa: La intuición para el concepto matemático de la computabilidad comienza a coincidir con la pre-matemática de la intuición de la computabilidad.

Y este es el punto de mi respuesta: yo creo que con la topología, es la misma sólo que la tesis en cuestión no tiene un nombre (y es conocido por ser un poco falso). Si usted acaba de empezar a hacer topología, lo más probable es encontrar que su intuición para la flexión y de estiramiento y de sus intuiciones para homeomorphisms comienzan a solaparse mucho. Creo que esta es la mejor justificación para el citado no descripción matemática de la topología de un campo.

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Y ahora, para responder a sus inquietudes con respecto a este:

Y como usted dice, la tesis no funciona completamente y comparto su preocupación de que el uso de ella para probar cosas. Por suerte, he encontrado que la mayoría de las cosas que he visto probar usando visual de flexión–extensión argumentos realmente puede ser probada rigurosamente el uso real de las matemáticas. Esto realmente me ayudó mucho a aceptar la actitud. Tal vez esto te ayude.

Así que mi consejo es no perder mucho sueño: no pensar en ella como una definición del campo, sino más bien como una descripción y no esperar de estiramiento y flexión a ser definidas formalmente.

Usted puede ya sea respecto de la topología de la matemática en el que se formaliza el razonamiento acerca de cosas como la flexión y de estiramiento, o usted puede considerar cosas como la flexión y de estiramiento como nociones intuitivas que ayudan a que la razón acerca de la topología.

Answer 2

La metodología de las matemáticas comienza con examinar algunas concepto por medio de la presentación de formalizaciones que satisfacer el conflicto de las restricciones de (1) representando fielmente la intuición detrás del concepto y (2) ser susceptibles de análisis matemático. Juzgamos a nuestros formalizaciones tanto por estos dos criterios y la riqueza de la matemática pura, que se desarrolla fuera de ellos.

Topología surge históricamente como un intento de comprender la noción de continuidad, como el desarrollado principalmente en el siglo 19 análisis. Por Cauchy era real continua las funciones de valor que habían sido definidos como los definimos hoy en día en términos de epsilons y deltas. Desde aquí se obtiene de espacio métrico, y su abstracción para espacios topológicos. La intuición de homeomorphism como el estiramiento y flexión trata realmente de una manera aún más especial chintzy de métrica espacios, es decir, los colectores. En este contexto, hay poco espacio para la duda de que el estiramiento y curvado puede ser representado por homeomorphisms-es absolutamente parte de nuestra intuición de que estas mapa de puntos cercanos a puntos cercanos.

A mí me parece de los más ricos pregunta es de que si el general homeomorphisms tiene nada que ver con el estiramiento y flexión. La respuesta seguramente es no, entonces la noción de topología tiene que defenderse por otros motivos. De hecho, no hay un consenso total de que los espacios topológicos son el derecho a la abstracción de la continuidad de varios de menor tamaño y más tarde las clases de espacios que se han propuesto. Pero la mayoría de los matemáticos no parece estar muy preocupado por encontrar la mejor manera posible la abstracción de un concepto. Topología de éxito de los modelos de las teorías de variedades, las variedades algebraicas, espacios de funciones, y otros temas importantes, por lo que la gente de aprender y utilizar. Tal vez esta actitud es demasiado pragmático, en cuyo caso hay un montón de alternativas a investigar, a partir de la convergencia de espacios para toposes.