¿Qué es el Alfa de Cronbach intuitivamente?

Question

Estoy tratando de entender el Alfa de Cronbach intuitivamente. ¿Cuál es la idea general detrás de esta construcción? ¿Qué propiedades estaban intentando asegurar que tenía?

Answer 1

Usted puede ver lo que significa por el estudio de la fórmula:

$$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{\sum \sigma^2_{x_i}}{\sigma^2_T}\right)$$

donde $T=x_1 + x_2 + ... x_K$. $T$ es el total de la puntuación de una prueba con $K$ elementos, cada uno de los puntajes $x_i$, respectivamente.

Desembale la fórmula, usando lo que sabemos acerca de la covarianza de una suma de RV.

• Si los elementos de prueba son independientes (creo $K$ al azar, Trivial Pursuit preguntas), entonces la varianza de $T$ es la suma de las varianzas de las $x_i$$\alpha=0$.
• Supongamos que el $x_i$ son de hecho la misma pregunta repetida $K$ veces. A continuación,$\sigma^2_T=K^2 \sigma^2_x$, y un poco de álgebra muestra que $\alpha=1$.

Estos son los casos extremos. Normalmente, habrá algunas correlaciones positivas entre los elementos (suponiendo que todo está codificado en la misma dirección), por lo que el cociente de las varianzas será menor que 1. La mayor de las covarianzas, mayor será el valor de $\alpha$.

Recuerde que no se $K(K-1)/2$ covarianzas en el $x_i$ para obtener la varianza de $T$, por lo que necesita para la mayoría de las cosas para ser razonablemente se correlaciona con la mayoría de las otras variables para conseguir un saludable $\alpha$. Es, como @ttnphns señaló, casi normalizado promedio de covarianza.

$$\sigma^2_T = \sum \sigma^2_{x_i} + 2 \sum_{i < j}^K {\rm cov}(x_i,x_j)$$

Este término está en el numerador de la relación de las varianzas, por lo que el más grande se vuelve, más pequeña que la relación es, y la cantidad se acerca a 1.

Entonces, ¿qué implica esto? Tome una simple situación de prueba, en la que cada elemento se correlaciona con un factor subyacente con la misma carga, de esta manera:

$$x_i = \lambda \xi + \epsilon_i$$

A continuación, las covarianzas son de la forma $\lambda^2$. Si $\lambda$ es bastante grande, relativa al ruido $\epsilon$, voy a conseguir algo cercano a 1. De hecho, si nos estandarizar de manera que $\sigma^2_x=1$

$$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{1}{1+(K-1)\lambda^2}\right)$$

y $\alpha$ es básicamente un tono monótono, si no lineal, la versión de que el factor de carga.

Lamentablemente, el recíproco no es cierto, y un gran $\alpha$ valores pueden ser obtenidos a partir de una variedad de factor de estructuras, o ninguno en absoluto. Los artículos deben ser correlacionados, en promedio, pero que en realidad no decía mucho. El alfa de Cronbach es una prueba estadística que se obtiene de manera demasiada publicidad, en mi opinión, para lo que vale. Hoy en día, no hay ninguna razón para no hacer un análisis de factores y confirmar si la prueba se realiza como uno cree que debe.

El siguiente gráfico muestra el valor de $\alpha$ cuando hay 20 elementos con las mismas cargas, como en el anterior.

Los psicólogos como para obtener un $\alpha$ mayor que 0.80, pero que se puede lograr con una carga de 0.5-no es exactamente un apretado elemento de prueba.