Encontrando la transformada de similitud de una matriz de rotación

Question

Tengo una matriz de ecuación como sigue a partir de un sensor de calibración problema. En el corazón de este problema es un número de 3x3 rotación de matrices:

$\mathbf{R}_{b1}^{b2} = \mathbf{R}_{v}^{b} \mathbf{R}_{v1}^{v2} (\mathbf{R}_{v}^{b})^T$

donde el siguiente es conocido: $\mathbf{R}_{v1}^{v2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Y la matriz de $\mathbf{R}_{b1}^{b2}$ ya ha sido estimado (y es necesariamente simétrica)

Lo que me gustaría hacer es estimar el $\mathbf{R}_{b}^{v}$. Supongo que no habrá solución única, pero incluso si puede ser limitada a una familia de soluciones.

Hay alguien que sería capaz de dar un par de consejos sobre cómo ir sobre la solución de este problema?

Answer 1

Se toma algún tiempo, pero no he encontrado una buena solución para el problema.

Utimately, la clave está en la matriz de rotación: $\mathbf{R}_{v1}^{v2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Como resulta que los valores propios de esta matriz de rotación es de -1, -1 y 1. Sabemos que una similitud de transformación debe preservar los valores propios, y por lo tanto, los autovalores de a $\mathbf{R}_{b1}^{b2}$ también debe ser -1, -1 y 1.

Desde $\mathbf{R}_{b1}^{b2}$ es simétrica, sabemos que debe haber un eigendecomposition de la siguiente manera:

$\mathbf{A} = \mathbf{Q} \mathbf{\Lambda} \mathbf{Q}^T$.

donde $\mathbf{\Lambda}$ es una matriz diagonal de valores propios y $\mathbf{Q}$ es ortogonal de la matriz construida a partir de los vectores propios de a $\mathbf{A}$.

En este caso, $\mathbf{\Lambda} = \mathbf{R}_{v1}^{v2}$ y, por tanto,$\mathbf{Q} = \mathbf{R}_{v}^{b}$.

Por lo tanto, el cálculo de los vectores propios de la matriz $\mathbf{R}_{b1}^{b2}$ forma un conjunto de posibles soluciones. Tenga en cuenta que $\mathbf{Q}$ no es necesariamente especial ortogonal a los vectores propios puede ser multiplicado por -1 como sea necesario para obtener el +1 determinada.

Por supuesto, habrá ambigüedad en la solución, pero la elección de que la rotación de la matriz es correcto es un problema específico.

Answer 2

$\mathbf R_{b1}^{b2}$ es una rotación$\pi$. Puede encontrar su eje$a$, determinando el vector propio (con la norma$1$) relativo al valor propio$1$.
$\mathbf R_v^b$ es la rotación que transforma el eje$z$ en el eje$a$.

Answer 3

Esta es una instancia de la ecuación$AX=XB$ (si se multiplica a la derecha por$X = {R}_{v}^{b}$), que surge en el llamado problema de calibración del ojo con la mano. Aquí encontrará una buena lista de documentos sobre cómo resolver este problema.