Integral impropia utilizando análisis complejo.

Question

Calcular $$\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{1+x^2}\,\,dx,\;\; a>0$ $ usando un análisis complejo.

Intenté integrar la función $f(z)=\frac{e^{-az}}{1+z^2}$ sobre el contorno $\gamma$ con orientación hacia la izquierda:

pero sin suerte.

Answer 1

Como ya he mencionado en los comentarios, yo no lograr el resultado a través de complejos análisis.

En lugar de ello he utilizado los siguientes verdadero enfoque de análisis.

Vamos $$f(a)=\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{1+x^2}\,\,dx,\;\; a>0.$$ A continuación, $$f''(a)=\int_0^{\infty} \frac{x^2\cdot e^{-a\cdot x}}{1+x^2}\ dx.$$ De ello se sigue que $$f''(a)+f(a)=\int_0^{\infty}\ e^{-a\cdot x}\ dx.$$ Evaluar la integral: $$f''(a)+f(a)=\frac{1}{a}.$$ Una solución general de esta ecuación diferencial puede ser definido como la suma de una solución complementaria y la solución particular.

Encontrar la solución complementaria por la resolución de la ecuación: $$f''(a)+f(a)=0.$$ Puede ser derivado de que la solución complementaria es dada por $$f_\text{c}(a)=C_{1}\cdot\cos(a)+C_{2}\cdot\sin(a).$$

Encontrar la solución particular a $$f''(a)+f(a)=\frac{1}{a}$$ por variación de parámetros.

La lista de la base de soluciones en $f_{\text{c}}(a)$: $$f_{b,1}(a)=\cos(a),\\ f_{b,2}(a)=\sin(a).$$ Determinar la Wronskian de $f_{b,1}(a)$ e $f_{b,2}(a)$:

$$W(a)= \begin{vmatrix} \cos(a) & \sin(x) \\ \frac{d}{da}\cos(a) & \frac{d}{da}\sin(a) \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos(a) & \sin(x) \\ -\sin(a) & \cos(a) \\ \end{vmatrix} =\cos^2(a)+\sin^2(a)=1.$$ Vamos $$g(a)=\frac{1}{a},\\ h_{1}(a)=-\int \frac{g(a)\cdot f_{b,2}(a)}{W(a)}\ da,\\ h_{2}(a)=\int \frac{g(a)\cdot f_{b,1}(a)}{W(a)}\ da.$$ La solución particular será dada por $$f_{\text{p}}(a)=h_{1}(a)\cdot f_{b,1}(a)+h_{2}(a)\cdot f_{b,2}(a).$$ Determinar el $h_{1}(a)$ e $h_{2}(a)$: $$h_{1}(a)=-\int \frac{\sin(a)}{a}\ da=-\text{Si}(a),\\ h_{2}(a)=\int \frac{\cos(a)}{a}\ da=\text{Ci}(a).$$ El particular, la ecuación está dada por $$f_{\text{p}}(a)=\text{Ci}(a)\cdot\sin(a)-\text{Si}(a)\cdot \cos(a).$$ Una solución general se define como la suma de la solución complementaria y la solución particular: $$f(a)=C_{1}\cdot\cos(a)+C_{2}\cdot\sin(a)+\text{Ci}(a)\cdot\sin(a)-\text{Si}(a)\cdot \cos(a).$$ A partir de la expresión anterior para $f(a)$ puede ser derivada que $\lim \limits_{a \to \ 0} f(a)=C_{1}$. De la forma integral de $f(a)$ puede ser derivada que $\lim \limits_{a \to \ 0} f(a)=\frac{\pi}{2}$. Por lo tanto, $C_{1}=\frac{\pi}{2}$.

A partir de la expresión anterior para $f(a)$ puede ser derivada que $\lim \limits_{a \to \ \infty} f(a)=C_{2}\cdot \sin(\infty)$. De la forma integral de $f(a)$ puede ser derivada que $\lim \limits_{a \to \ \infty} f(a)=0$. Por lo tanto, $C_{2}=0$.

Por lo tanto, una expresión de forma cerrada para su integral está dada por $$f(a)=\frac{\pi}{2}\cdot\cos(a)+\text{Ci}(a)\cdot\sin(a)-\text{Si}(a)\cdot \cos(a),\;\; a>0.$$

Answer 2

No está seguro de cómo evalúa numéricamente esta integral, pero si está satisfecho con una función especial, tome la integral exponencial definida por $$ E_1 (z) = \ int_z ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- z}} {z } dz \ space \ \ space \ \ space \ \ left | Arg (z) \ right | <\ pi $$ Luego se complejiza \begin{align*} \int_0^{\infty} \frac{e^{-az}}{(z-i)(z+i)}dz &=-\int_0^{\infty}\frac{i}{2}\frac{e^{-az}}{z-i}dz+ \int_{0}^{\infty}\frac{i}{2}\frac{e^{-az}}{z+i}dz=-\int_{-ia}^{\infty}\frac{ia}{2}\frac{e^{-a(z+i)}}{az}dz + \\ &+\int_{ia}^{\infty}\frac{ia}{2}\frac{e^{-a(z-i)}}{az}dz= \frac{ia}{2} \left( -e^{-ia}E_1(-ia) + e^{ia}E_1(ia) \right) \end {align *}