¿Existe tal función definida en [0,1], diferenciable en (0,1) pero no integrable? Gracias de antemano.
Respuesta
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Es importante saber que si una función es continua en un intervalo cerrado, es integrable en ese intervalo. Esta pregunta parece estar llegando a cuán estricta es esa condición.
Si una función es diferenciable en un abrir intervalo, entonces es automáticamente continuo en ese intervalo. La cuestión es si puede extenderse a una función continua en el intervalo cerrado que lo rodea. Y una forma en que esto puede fallar es si la función tiene un límite infinito en un punto final.
Así es como construimos el contraejemplo. La función $$ f(x) = \begin {cases} 0 & x=0 \\ \frac {1}{x} & x > 0 \end {cases} $$ se define en $[0,1]$ diferenciable en $(0,1)$ pero no integrable en $[0,1]$ .
