Estructura algebraica de la línea real extendida$\overline{\Bbb R}$.

Question

El extended real de la línea de $\overline{\Bbb R}$ se define como el conjunto de $\overline{\Bbb R}=\Bbb R\cup\{\infty,-\infty\}$, donde la adherido a los símbolos $\{\infty,-\infty\}$ representa a los "puntos en el infinito" en positivo y en la dirección negativa.

$\overline{\Bbb R}$ se puede dar una topología declarando que aparte de la habitual abierto, nos vamos a $(a,\infty]$ $[-\infty,a)$ ser abierto por cualquier $a\in\Bbb R$. Esta es la dos-punto compactification, lo $\overline{\Bbb R}$ un topológicos compactos espacio.

Sin embargo, la estructura algebraica de $\overline{\Bbb R}$ parece bastante singular. Declaramos que para cualquier $a\in \Bbb R$, $$\begin{align} \infty+a &= \infty \\ -\infty+a &= -\infty \\ \infty+\infty &= \infty \\ -\infty-\infty &= -\infty \\ \frac a{\infty} &= 0 =\frac a{-\infty} \end{align}$$ y para $\infty\ge a>0> b\ge -\infty$, $$\begin{align} a\cdot\infty &= \infty \\ a\cdot(-\infty) &= -\infty \\ b\cdot\infty &= -\infty \\ b\cdot(-\infty) &= \infty \\ 0\cdot\infty &=0 = 0\cdot(-\infty).\\ \end{align}$$ Todas las demás combinaciones, como $\infty-\infty$ o $\frac{\infty}{\infty}$, se deja sin definir.

Sí, todos estos de sentido, pero sólo quiero saber si cabe en cualquier marco más amplio? Esto, claramente, no está en conformidad con los "fundamentos" estructuras algebraicas que hemos estudiado en nuestros años universitarios.

$-\infty$ no es el inverso aditivo de a $\infty$, ni es $\frac a{-\infty}=a\cdot{-\infty}^{-1}$ desde ${-\infty}$ no tiene un inverso multiplicativo.

Hay una teoría general para este tipo de estructura algebraica?

Estoy pensando en el álgebra booleana desde $1$ en un álgebra de boole también exhibe este tipo de `absorción' comportamiento. Desde que carecen de un profundo conocimiento en el campo del álgebra, espero que alguien de aquí podría ser capaz de dar una idea de esto.

PS. Yo con la etiqueta "lógica" ya que creo que es similar a la del álgebra booleana. Por favor dime si esto es de alguna manera no apropiada.

Answer 1

Mientras que las estructuras algebraicas con parcial de las operaciones se estudió, es mucho más agradable que se adhieren a las estructuras en donde la operación binaria es posible entre cualquier par de elementos.

Dicho esto, una versión natural de lo que estás describiendo es el semiring $[0, \infty]$ definido por las operaciones que he descrito en la no negativo de extendido de línea reales.

Otra versión natural es la proyectivo real de la línea, donde sólo se adhieren a un símbolo de $\infty$ que actúa como un punto en el que juntos pega los extremos de la línea real. (No es $-\infty$ añadido aquí, y el orden de los reales se vuelve menos importante, ya que se han "doblado en un círculo.")

En esta segunda foto, el problema de tratar con $-\infty$ ha desaparecido. En segundo lugar, las operaciones con $\infty$ tiene una buena explicación lineal fraccional transformaciones de los números reales. Un general lineal fraccional de transformación se parece a esto:

$x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}$ donde $a,b,c,d$ son números reales fijos tales que $ad-bc\neq 0$.

Si $c=0$, entonces la transformación de los mapas de $\mathbb R$ a $\mathbb R$, y se puede ampliar el mapa enviar a $\infty\mapsto \infty$ para obtener un mapa de toda la línea proyectiva sobre sí mismo.

Al $c\neq 0$, esta expresión mapas de $\mathbb R\setminus\{\frac{-d}c\}$ a $\mathbb R\setminus\{\frac{a}c\}$. Para completar el mapa que tendríamos que averiguar dónde enviar a$\infty$$\frac{-d}{c}$. La buena opción es enviar a $\frac{-d}{c}\to \infty$$\infty\to \frac{a}{c}$.

Con estos convenios se puede trabajar la coherencia en las definiciones de las operaciones, incluyendo el $\infty$, de modo que la mayoría de las operaciones se llevarán a cabo en todo el proyectivo real de la línea.