Entiendo que en "normal" índice de la notación de los índices puede ser pensado como coordenadas de valores escalares dentro de una tabla de datos de la estructura, mientras que en el resumen del índice de notación que no pueden. Sin embargo, no estoy claro en qué se diferencia práctica esto se hace cuando en realidad las matemáticas. Si su están haciendo cálculos numéricos, entonces usted necesita para conectar componentes reales en su tensores, por lo que no es abstracto, pero, ¿hay alguna diferencia si usted está haciendo simbólico/cálculos algebraicos? Las notaciones parecen idénticos, y aunque la interpretación es diferente, las expresiones en ambos casos, en última instancia denotar los tensores. Que yo sepa el algebraicas leyes son las mismas. Hay manipulaciones que son válidos en uno pero no en el otro? Si usted ve algunos de tensor de cálculos, ¿cómo se puede saber si abstract índice de notación se utiliza? Si usted está haciendo la geometría diferencial con los índices de hacer que usted necesita para decidir si sus índices son abstractas o no? O solo estoy perdiendo algo?
Respuesta
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Las expresiones en el resumen del índice de la notación y el índice normal de notación de aspecto idéntico a propósito. Esto se hace con el fin de retener el cálculo de la flexibilidad de los índices, pero tienen una coordenada libre de tratamiento de la materia. El artículo de Wikipedia está bastante bien escrito, pero también tendría sentido para leer el original de Penrose del libro donde se encuentra la mayor parte de los detalles. Los ejemplos se dan a lo largo de ese libro, por cierto. Asegúrese de que ha leído el resumen del primer volumen del capítulo en el principio de Volumen 2 (me parece que resumen muy esclarecedor). Para ser honesto, tengo que admitir que Penrose de la monografía es muy difícil para la primera lectura, y un principiante debe mejor consultar con los tres primeros capítulos del libro de texto de R. Wald "relatividad General" donde yo he encontrado la cura contra el miedo de el resumen de los índices.
Los convenios para el resumen de los índices, por lo que los cálculos de la' apariencia es la de los mismos cálculos que en el hormigón de los índices. De hecho, todo lo que debe ser preservado si se introduce un marco para convertir resumen de los índices en "normal" tensor de índices.
Entonces, ¿qué sería de las ventajas del resumen índice de notación? Lo principal es que es coordinar libre. Por ejemplo, la curvatura de Riemann operador en resumen índices pueden ser denotados por $R_{a b}{}^{c}{}_{d}$ en cualquier punto y el colector, pero si un gráfico de coordenadas o sólo un marco $\{E_{i}|i=1,\dots,n\}$ ha sido elegido (que por lo general sólo puede ser hecho localmente), uno puede pasar a las componentes del tensor de $R_{a b}{}^{c}{}_{d}$ en este gráfico de la siguiente manera $$ R_{i j}{}^{k}{}_{l} = R_{a b} {a}^{c}{}_{d} E^{a}{}_{i} E^{b}{}_{j} E_{c} {a}^{k} E^{d}{}_{l} $$ donde el lado derecho es entendido como $$ R(E_{i},E_{j},E_{l})E_{k}, $$ Observe que en las ecuaciones anteriores los índices en el rango de $a,b,c,\dots$ son vistos como abstracta, por lo que siempre que el mismo índice aparece dos veces, una acción de un operador lineal sobre un elemento de un espacio vectorial es de suponer. En contraste con ello, los índices de forma que el rango de $i,j,k,\dots$ tienen valores numéricos ($1,2,\dots,n$), por lo que cuando se aparean, el convenio de sumación de Einstein se lleva a cabo.
Otra ventaja es que el resumen índice es bastante económico, y las expresiones que a menudo parecen mucho más corto que en el habitual coordinar libre de notación, especialmente cuando uno trata con tensor de simetrías (comparar, por ejemplo, la identidad de Bianchi en ambas notaciones).
Advertencia. Uno necesita ser informado de que el resumen de los índices se utilizan, y también el índice de rangos deben ser especificadas, por ejemplo, $a,b,c,\dots$ sería tensor de índices, mientras que $A,B,C,\dots$ puede representar spinor o tractor índices, y así sucesivamente.
Un simple ejemplo de un cálculo con el resumen de los índices de los que uno puede encontrar, por ejemplo, en esta respuesta
