mostrar que $\int_{0}^{\pi/2}\tan^ax \, dx=\frac {\pi}{2\cos(\frac{\pi a}{2})}$

Question

mostrar que $$\int_{0}^{\pi/2}\tan^ax \, dx=\frac {\pi}{2\cos(\frac{\pi a}{2})}$$

Yo creo que se puede resolver por el contorno de la integración, pero no sé cómo.

Si alguien puede resolver de dos vías utilizando complejo y real, el análisis de su mejor para mí.

gracias por todo.

Answer 1

Usted puede usar la función beta

$$ \beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}, \qquad \mathrm{Re}(x)>0,\ \mathrm{Re}(y)>0 \! $$

para evaluar la integral. En su caso

$$ 2x-1=a \implies x=\frac{a+1}{2}\quad 2y-1=-a \implies y=\frac{1-a}{2}. $$

Answer 2

Vamos $u=\tan{x}$, $dx=du/(1+u^2)$. Entonces la integral es

$$\int_0^{\infty} du \frac{u^a}{1+u^2}$$

Esta integral puede ser realizado por $a \in (-1,1)$ por el residuo de la teoría. Considerando una integral de contorno sobre un ojo de la cerradura de contorno sobre el eje real positivo

nos encontramos con que

$$\left ( 1-e^{i 2 \pi a} \right) \int_0^{\infty} du \frac{u^a}{1+u^2} = i 2 \pi \frac{e^{i \pi a/2}-e^{i 3 a\pi/2}}{2 i}$$

O

$$\int_0^{\infty} du \frac{u^a}{1+u^2} = \pi \frac{\sin{\pi a/2}}{\sin{\pi a}} $$

A partir de la cual el buscado después del resultado puede ser encontrado.

ANEXO

Un poco más de explicación. Considere la integral de contorno

$$\oint_C dz \frac{z^a}{1+z^2}$$

donde $C$ es la de arriba del ojo de la cerradura de contorno. Esto significa que la integral puede escribirse como

$$\int_{\epsilon}^R dx \frac{x^a}{1+x^2} + i R \int_0^{2 \pi} d\theta \,e^{i \theta} \frac{R^a e^{i a \theta}}{1+R^2 e^{i 2 \theta}} + \\ e^{i 2 \pi a} \int_R^{\epsilon}dx \frac{x^a}{1+x^2} + i \epsilon \int_0^{2 \pi} d\phi\,e^{i \phi} \frac{\epsilon ^a e^{i a \phi}}{1+\epsilon ^2 e^{i 2 \phi}} $$

Tomamos el límite de $R \to \infty$ $\epsilon \to 0$ y recuperar la expresión de la integral de contorno anterior.