Concepto de diferenciación implícita

Question

El problema es $ x^2=(x+y)/(x-y)$

Si empiezo el problema haciendo una diferenciación implícita en ambos lados obtengo una respuesta diferente que si primero hago una multiplicación cruzada y empiezo con $ x^3-x^2y=x+y $ .
¿Hay alguna razón matemática para que los dos métodos no den el mismo resultado? Con la multiplicación cruzada hay un $3x^2$ término que no aparece en la respuesta final si se comienza con la diferenciación implícita de ambos lados.

Answer 1

Son no diferente.

Dejemos que $$z(x,y)= x^2 - (x+y)/(x−y)=0 \tag{1}$$

Entonces obtenemos $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial z}{ \partial x}}{\frac{\partial z}{ \partial y}}= \frac{x\,{{y}^{2}}+\left( 1-2{{x}^{2}}\right) y+{{x}^{3}}}{x} \tag{2} $$

Dejemos que $$w(x,y)= x^3 − x^2y - x-y=0 \tag{3}$$

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial w}{ \partial x}}{\frac{\partial w}{ \partial y}}=-\frac{2xy-3{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+1} \tag{4}$$

Ahora, las expresiones $(2)$ y $(4)$ puede parecer diferente, pero hay que recordar que $x,y$ no son libres, las restricciones $(1)$ o $(3)$ aplicar. En este caso podemos aislar $y=(x^3-x)/(x^2+1)$ y sustituyendo podemos comprobar que tanto $(2)$ y $(4)$ son iguales:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-1}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}$$