Evaluación de $I(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xy}}{y^2+a^2}dy$

Question

Actualmente examino esta integral:

$$I(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xy}}{y^2+a^2}dy;x\geqslant0$$ donde $x$ y $a$ son reales.

Parece que la integral no tiene forma cerrada en términos de funciones elementales. Pero, ¿quizás tenga una forma cerrada en términos de funciones especiales?

El resultado final debería ser la expansión en serie de $I(x)$ en $x=0$

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$I''(x)=\int_0^\infty \frac{y^2 e^{-xy}}{y^2+a^2}dy$$

para que $$\tag{1} I''(x)+a^2 I(x)= \int_0^\infty e^{-xy} dy=\frac 1x$$

Las soluciones de la ecuación homogénea son $I(x)=\sin(ax)$ y $I(x)=\cos(ax)$ pero las soluciones específicas requerirán (como ha advertido Norbert) integrales de seno y coseno como demostraremos utilizando la variación de las constantes : $$\tag{2} I(x)=c\;\sin(ax)$$ $$I'(x)=c'\sin(ax)+c\;a\cos(ax)$$ $$I''(x)=c''\sin(ax)+2\,c'a\cos(ax)-c\;a^2\sin(ax)$$ $$I''(x)+a^2 I(x)=\frac 1x=c''\sin(ax)+2\,c'a\cos(ax)$$

Vamos a establecer $\;b:=c'$ entonces queremos $$b'\sin(ax)+2\,b\,a\cos(ax)=\frac 1x$$ multiplique esto por $\,\sin(ax)$ para obtener : $$b'\sin(ax)^2+b\,2\,a\sin(ax)\cos(ax)=\frac {\sin(ax)}x$$ $$b'\sin(ax)^2+b \frac d{dx} \sin(ax)^2=\frac {\sin(ax)}x$$ $$\frac d{dx} (b\;\sin(ax)^2)=\frac {\sin(ax)}x$$ ou $$c'=b=\frac 1{\sin(ax)^2} \left(C_0+\int \frac {\sin(ax)}{ax} d(ax)\right)=\frac {C_0+\rm{Si(ax)}}{\sin(ax)^2}$$

y $c$ será : $$c=C_1+\int \frac {C_0+\rm{Si(ax)}}{\sin(ax)^2} dx$$ pero (int. por partes y desde $\cot(x)'=-\frac 1{\sin(x)^2}$ , $\rm{Si}'(x)=\frac {\sin(x)}x$ y $\rm{Ci}'(x)=\frac {\cos(x)}x$ ) : $$\int \frac {\rm{Si}(ax)}{\sin(ax)^2} dx=\frac 1a\left[-\rm{Si}(ax)\cot(ax)\right]+\int \frac {\sin(ax)}{x} \cot(ax)dx$$ $$\int \frac {\rm{Si}(ax)}{\sin(ax)^2} dx=-\frac 1a\left[\rm{Si}(ax)\cot(ax)\right]+\int \frac {\cos(ax)}{x}dx$$ de modo que (para $C_0=C_1=0$ ) $c$ será simplemente : $$\tag{3} c=\frac{\rm{Ci}(ax)-\rm{Si}(ax)\cot(ax)}a$$ multiplicando $c$ por $\,\sin(ax)$ en $(2)$ obtenemos la solución específica : $$\tag{4} I(x)=\frac 1a\left(\rm{Ci}(ax)\sin(ax)-\rm{Si}(ax)\cos(ax)\right)$$ con la solución general del E.D.O. dada por : $$\tag{5} I(x)=C\,\sin(ax)+D\,\cos(ax)+\frac 1a\left(\rm{Ci}(ax)\sin(ax)-\rm{Si}(ax)\cos(ax)\right)$$ Puede utilizar el caso específico $I(0)=\left[\frac {\arctan(ax)}a\right]_0^\infty=\frac {\pi} {2a}$ y la derivada $I'(0)=-\log(a)$ para encontrar la expresión de Norbert : $$\tag{6}\boxed{\displaystyle I(x)=\frac {\pi\cos(ax)}{2a}+\frac 1a\left(\rm{Ci}(ax)\sin(ax)-\rm{Si}(ax)\cos(ax)\right)}$$

Para la evaluación numérica quizás que el Enlace DLMF o Libro de A&S será útil.

Tengo la siguiente ampliación de la serie de $\displaystyle (a\;I(x))$ (como explica J.M. hay un término logarítmico que proviene del $\rm{Ci}$ que no se puede ampliar en $0$ ) :

$$\left[(\gamma+\ln(ax))\sin(ax)+\frac {\pi}2-(ax)-\frac{\pi}4 (ax)^2+\frac {11}{36}(ax)^3+\frac{\pi}{48}(ax)^4-\frac{137}{7200}(ax)^5+\rm{O}\left((ax)^6\right)\right]$$ (con $\gamma\approx 0.5772156649$ la constante de Euler)

Para obtener más términos puede utilizar las siguientes expansiones : $$\rm{Ci}(z)=\gamma+ \ln(z) +\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)(2n)!}$$

$$\rm{Si}(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}$$

P.D. Es bastante interesante observar que hay una referencia a casi la misma integral en esta otra reciente Hilo de S.E. El documento es Coffey 2012 'Ciertas integrales logarítmicas, incluyendo la solución del problema mensual #tbd, valores zeta y expresiones para las constantes de Stieltjes' donde la ecuación $(4.4)$ lee $\ \displaystyle I(k)\equiv \int_0^\infty \frac{e^{-(k-1)v}}{v^2+\pi^2}\,dv$ .