La transferencia de los principios en la reducción de los productos y el axioma de elección

Question

Deje $\mathcal{A}_i (i \in I)$ ser una familia de $L$-estructuras, $F \subseteq \mathcal{P}(I)$ un filtro y se denotan por $\mathcal{A}$ la reducción del producto de esta familia por $F$. Voy a indicar el dominio de $\mathcal{A}_i$ por $A_i$ y de manera similar para $\mathcal{A}$. Por otra parte, si $\alpha \in A$, entonces voy a indicar el $i$ coordenadas de un representante de $\alpha$ por $a_i$.

Ahora, no es un argumento habitual por inducción sobre la complejidad de las fórmulas que muestra que, si $\phi$ es positivo primitiva, entonces tenemos

$\mathcal{A} \models \phi$ fib $\{i \in I \; | \; \mathcal{A}_i \models \phi\} \in F$.

Lo que me preocupa aquí es acerca de la $\exists y \psi$ caso. En la prueba por inducción, por lo general, tener algo como:

$\mathcal{A} \models \exists y \psi$ fib no es $\alpha \in A$ tal que $\mathcal{A} \models \psi[\alpha]$ fib $\{ i \in I \; | \; \mathcal{A}_i \models \psi[a_i]\} \in F$, lo que implica que $\{i \in I \; | \; \mathcal{A}_i \models \exists y \psi\} \in F$.

De lo contrario, se suele proceder de la siguiente manera:

Supongamos $X = \{i \in I \; | \; \mathcal{A}_i \models \exists y \psi\}$ e $X \in F$. Necesitamos construir una secuencia $a$ tal que su correspondiente equivalencia de la clase $\alpha$ es tal que $\mathcal{A} \models \psi[\alpha]$. Así, para cada una de las $i \in X$, recogemos $a_i \in A_i$ tal que $\mathcal{A}_i \models \psi[a_i]$, lo cual se puede hacer la hipótesis. Pero si $j \not \in X$, entonces podemos elegir cualquier elemento de $A_j$. La prueba, a continuación, continúa como de costumbre.

Esta prueba de lo contrario paso claramente hace uso del axioma de elección. Mi pregunta es: ¿hay modelos de $\mathsf{ZF}$ en que esta conversar falla?

Answer 1

Edit: Para evitar confusiones, permítanme señalar que el teorema en cuestión es la versión de Łoś del teorema positivas primitivas fórmulas y la reducción de los productos (en contraposición a la habitual versión de primer orden fórmulas y ultraproducts), como se presenta, por ejemplo, como el Teorema 1(i) en estas notas.

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Sí, lo contrario puede fallar sin elección. De hecho, esta versión de Łoś del teorema es equivalente a la CA. Para ver esto, vamos a probar de CA.

deje $(A_i)_{i\in I}$ ser una familia de conjuntos no vacíos, y deje $A$ ser su producto cartesiano. La producción de una función de elección para la familia es equivalente a mostrar que la $A$ es no vacío.

Deje $L$ ser el idioma sin símbolos (sólo la igualdad). Una $L$-la estructura es sólo un conjunto, por lo $A$ y cada una de las $A_i$ $L$- estructuras. Considere el filtro de $F = \{I\}$$I$. La reducción del producto por $F$ en el idioma $L$ es el mismo como el producto cartesiano.

Tenemos $A_i\models \exists x\, (x=x)$ todos los $i\in I$, ya que cada una de las $A_i$ es no vacío, por lo $\{i\in I\mid A_i\models \exists x\, (x=x)\} \in F$, y, por tanto,$A\models \exists x\, (x=x)$. En particular, $A$ es no vacío.