Grandes categorías? Cómo es un conjunto de objetos/flechas no un conjunto?

Question

Buenas noches,

Veo que hay categorías cuyos objetos y las flechas no son conjuntos, llamados grandes categorías. Entiendo que si cada objeto no es un conjunto, pero el conjunto de todos los objetos deben ser un conjunto, incluso si se trata de un infinito. Es esto debido a la forma en que un conjunto se define? Yo simplemente no puedo entender esto; yo no encuentro nada que pueda claro esta, ni aquí en la Wikipedia y otros resultados de búsqueda en Google (aunque debo decir que yo no soy un buen googler).

Gracias por la comprensión, espero que esta no es una pregunta estúpida.

Answer 1

Un conjunto de objetos de la categoría de todos los conjuntos sería un conjunto de todos los conjuntos, o al menos un conjunto de todos los ordinales. Tal monstruo viola el axioma de fundación, que es parte de ZF. La solución habitual -- introducido por MacLane, creo-es trabajar con un conjunto $V$ de los pequeños conjuntos', que es un modelo de ZF, en su lugar. Esto se justifica porque si ZF es consistente, entonces no es un modelo que proporciona un conjunto de pequeños conjuntos de Gödel integridad del teorema. Este conjunto $V$ define una categoría de pequeños conjuntos, en la parte superior de que los matemáticos pueden construir otras categorías de objetos pequeños. Por contraste con la pequeña establece dentro de $V$, los conjuntos fuera de $V$ 'grandes'. Por lo que una gran categoría es simplemente una categoría cuyo conjunto de objetos es grande, como la categoría de todos los conjuntos pequeños.

Answer 2

Como usted puede saber, porque de Russel Paradoja que aparece en la ingenua conjunto theroy, en ZF (un estándar de la teoría de conjuntos) no puede countain sí mismo; y "$\text{Sets}$", la categoría de todos los conjuntos, no podría existir con un conjunto de objetos.

Por lo tanto, se necesita un tipo diferente de objeto de colección, con reglas diferentes: una clase. ZF no axiomatize clases, son nociones informales, tipo de soluciones. Pero incluso en ZF se resuelve el problema: usted puede tener una clase de todos los conjuntos; esta clase no es un conjunto, y como tal, se llama una clase adecuada.

Por ejemplo, la recolección de objetos (y, naturalmente, de flechas) en "$\text{Sets}$" categoría es una clase adecuada. Las categorías de este tipo son conocidos como grandes categorías, a diferencia de las categorías pequeñas, cuyas colecciones de objetos y morfismos son conjuntos. No es un mar de rosas, aunque, las clases tienen otras limitaciones (variables de la teoría a la teoría) que establece que no (de lo contrario, como puede haber sido el pensamiento, Russel Paradoja se podría aplicar a ellos también, y tienes varios tipos de clases).

Responder directamente a tu pregunta: en ninguna manera; es una clase adecuada. Acerca de "¿Es esto debido a la forma en que un conjunto se define?": sí, lo es.