¿Cuál es la relación entre los autovectores de $A A^T$ y $A^TA$?

Question

Intenté usar el hecho de que los eigenvectores izquierdos y los eigenvectores derechos formarán una matriz diagonal, pero no puedo seguir adelante.

Answer 1

Usaré el conjugado hermítico, $A^H$, aquí en lugar de la transpuesta, $A^T$, para que la respuesta sea más general.

Los autovectores de $AA^H$ se llaman los autovectores izquierdos singulares de $A$ y los autovectores de $A^HA$ son los autovectores derechos singulares de $A. Se llaman de esta manera por su uso en descomposición en valores singulares. Si decimos que $A = U\Sigma V^H$, entonces las columnas de $U$ son los autovectores izquierdos singulares y las columnas de $V$ son los autovectores derechos singulares.

Sabemos que los autovalores no nulos de $AA^H$ y $A^HA$ son iguales, son los cuadrados de los valores singulares de $A$. Un valor singular de $A$ es un valor $\sigma$ tal que $$Av = \sigma u ~~~~ A^Hu = \sigma v$$ donde $u$ es un autovector izquierdo singular y $v$ es un autovector derecho singular. Esto se puede tomar como la definición de valor singular, autovector izquierdo singular (que es un autovector de $AA^H$) y autovector derecho singular (que es un autovector de $A^HA$).

Puedes verificar cómo funciona el par de autovectores izquierdos y derechos singulares con $AA^H$ y $A^HA$: $$AA^H u = \sigma A v = \sigma^2 u$$ $$A^HA v = \sigma A^H u = \sigma^2 v$$

Answer 2

Sea $v$ un autovector de $AA^H$, relativo al autovalor $\lambda\ne0$ (que es real). Entonces, por definición, $$ AA^Hv=\lambda v $$ entonces $$ (A^H\!A)(A^H\!v)=\lambda A^Hv $$ lo que significa que $A^H\!v$ es un autovector de $A^H\!A$ relativo a $\lambda$ (aquí usamos que $\lambda\ne0$). En particular, todo autovalor distinto de cero de $AA^H$ también es un autovalor de $A^H\!A$. Con los cambios obvios, esto también demuestra que todo autovalor distinto de cero de $A^H\!A$ es un autovalor de $AA^H$.

Si $E(X;\lambda)$ denota el espacio propio de $X$ relativo a $\lambda$, vemos que también tenemos un mapeo lineal inyectivo $$ E(AA^H;\lambda)\to E(A^H\!A;\lambda),\qquad x\mapsto A^H\!x $$ Por lo tanto $\dim E(AA^H;\lambda)\le \dim E(A^H\!A;\lambda)$ y el mapeo inverso $$ E(A^H\!A;\lambda)\to E(AA^H;\lambda),\qquad x\mapsto Ax $$ muestra igualdad. Por lo tanto ambos mapeos son isomorfismos.

No se puede decir nada acerca del autovalor cero (si es que $0$ es un autovalor de alguna de las matrices en primer lugar). Sin embargo, dado que ambas matrices son diagonalizables y tienen el mismo rango que $A$, ya conocemos la dimensión del núcleo de ambas.

Nota: $A^H$ denota la transpuesta Hermitiana; para matrices reales, simplemente use la transpuesta.

Answer 3

No estoy seguro de mi solución,... pero de todas formas la publicaré. ¡Quizás te ayude! ;)

En primer lugar, asumí que A es una matriz cuadrada (Tal vez no necesito esto,... decide por ti mismo :) )

supongamos que $\lambda$ es un autovalor para $A^TA$ con el autovector x. Por lo tanto, $\left(A^TA-\lambda I\right)x = 0$ ahora multiplicamos ambos lados por A y obtenemos $A\left(A^TA-\lambda I\right)x = A\cdot 0 = 0 \Leftrightarrow \left(AA^TA-A\lambda I\right)x = 0$ ahora A conmuta con $\lambda I$ por lo tanto obtenemos $\left(AA^TA-\lambda I A\right)x = 0 \Leftrightarrow \left(AA^T-\lambda I\right)Ax = 0$ Ahora interpreto esto como el autovector de $AA^T$ es A veces el autovector de $A^TA$

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