¿Cuál es el valor de $a^2+b^2$?

Question

Si el rango de la función $$f(x)=\frac{x^2+ax+b}{x^2+2x+3}$$ es $[-5,4]$ , entonces ¿cuál es el valor de $a^2+b^2$ ?

[$a,b$ son números naturales]

¿Cuál será la manera correcta de acercarse a este problema?

He intentado utilizar el método general de la siguiente manera: $({x^2+2x+3})y={x^2+ax+b}$

o,$x^2(y-1)+x(2y-a)+(b-3y)=0$

Entonces a partir de la $x$ es real el discriminante debe ser mayor que igual a 0.

Pero este método no es muy eficiente y rápida para este problema.Los accesos directos posible?

Answer 1

Tanto las ecuaciones cuadráticas $$ f(x)=-5 $$ y $$ f(x)=4 $$ debe tener el doble de raíces. Si estas ecuaciones no tienen raíces, entonces el valor correspondiente no está en el rango. Pero si tiene dos raíces, a continuación, entre ellos la función irá fuera del rango establecido.

Así que el discriminantes $\Delta_1$ tanto $(x^2+ax+b)+5(x^2+2x+3)$ y $\Delta_2$ $(x^2+ax+b)-4(x^2+2x+3)$ deben desaparecer. En otras palabras $$ \begin{aligned} 0&=\Delta_1=a^2+20a-260-24b,\\ 0&=\Delta_2=a^2-16a-80+12b. \end{aligned} $$ Este sistema es fácil de resolver. Hay dos soluciones $(a,b)=(-10,-15)$ y $(a,b)=(14,9)$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$-5 \leq y \leq 4 \iff (y+5)(y-4) \leq 0 \iff y^2+y-20 \leq 0$$

Para $x^2(y-1)+(2y-a)x+(3y-b)=0$ admite que el valor real de $x$, \begin{align*} \Delta & \geq 0 \\ (2y-a)^2-4(y-1)(3y-b) & \geq 0 \\ -8y^2+4(3-a+b)y+a^2-4b & \geq 0 \\ 8y^2+4(a-b-3)y-a^2+4b & \leq 0 \\ \end{align*}

La comparación de los coeficientes de $$8y^2+4(a-b-3)y-a^2+4b \equiv 8(y^2+y-20)$$

$$\implica \left \{ \begin{align*} a-b-3 &= 2 \\ -a^2+4b &= -160 \end{align*} \right.$$

$$\implies (a,b)= (14,9) \: \text{ or } \: (-10,-15)$$

Desde $a$ $b$ son números naturales, rechazar $\, (a,b)=(-10,-15)$.

$$\therefore \quad a^2+b^2=277$$