La división de un proceso de Poisson de acuerdo al tiempo-dependiente de probabilidades

Question

Deje $X_t$ ser un proceso de Poisson homogéneo de la tasa de $\lambda$. Supongamos que definimos las funciones $p_1(t)$, ..., $p_k(t)$, tal que para todos los $i$ y $t$, $p_i(t)\in [0,1]$ y $\sum\limits_{i=1}^kp_i(t) = 1$.

Deje $Y_1,\dots, Y_k$ ser procesos. Ahora, para cada llegada para el proceso de $X_t$, elegir al azar uno de los procesos de $Y_1,\dots,Y_k$, de acuerdo a las probabilidades de $p_1(t),\dots,p_k(t)$ y dejar que esta llegada a ser un punto de llegada en el proceso elegido.

¿Esta producción independiente, de Poisson no homogéneos procesos y si es así, ¿cómo demostrarlo?

Teniendo en cuenta la infinitesimal de la caracterización de un proceso de Poisson, parece probable, pero no estoy muy seguro de por dónde empezar.

Gracias.

Answer 1

De hecho, esto se llama la división y la operación inversa se llama fusión. Sí una separación produce independientes de Poisson en procesos de intensidades $\lambda_i(\ )$ donde $\lambda_i(t)=\lambda p_i(t)$ o $\lambda_i(t)=\lambda(t) p_i(t)$ si el original proceso de Poisson es inhomogenous con la intensidad de la $\lambda(\ )$.

Una prueba para el caso homogéneo donde $\lambda(t)$ e las $p_i(t)$ son independientes en $t$ es de allí y la adaptación de esta prueba en su caso, no es difícil. El caso general es en muchos clásicos en punto de los procesos, por ejemplo en la sección 6.4 punto Marcado los procesos de Una introducción a la teoría de punto de los procesos por D. J. Daley y D. Vere-Jones.