Examinar la convergencia de $\sum_{n=1}^\infty \frac1{n(\log_2n)}$

Question

Examinar la convergencia de $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac1{n(\log_2n)}$

Mi Trabajo:

Hacer $x_n=\frac1{n(\log_2n)}$, $\lim_{n\to\infty} x_n$ debe ser igual a cero si esta serie converge. Es igual a cero el denominador se enfoque infinito como n se acerca a infinito.

Ni la raíz de la prueba, ni la prueba de razón parece ser útil en este escenario. La serie es también no geométricos. Actualmente estoy tratando de averiguar una prueba de comparación que puedo usar pero nada viene a la mente. Cualquier ayuda en este problema, sería muy apreciado.

Sólo la información de los antecedentes, este es uno de mis problemas de la práctica para un próximo examen en mi curso de análisis.

Answer 1

Punto clave : el Uso de Cauchy de la prueba de condensación.

Vamos , $\displaystyle f(n)=\frac{1}{n\log_2 n}=\frac{\log_e 2}{n\log_e n}$. Deje $a(>1)$ ser un número real. Entonces , $$a^nf(a^n)=\frac{a^n \log 2}{a^n n\log a}=\frac{\log 2}{\log a}.\frac{1}{n}.$$As $\displaystyle \sum \frac{1}{n}$ is divergent so $\displaystyle \sum^nf(a^n)$ is divergent and hence series $\displaystyle \sum f(n)$ es divergente.

Answer 2

SUGERENCIA:

En primer lugar, escriba $\log_2n=\frac{\log n}{\log 2}$. A continuación, tenga en cuenta que desde $\frac{\log 2}{n\log n}$ es estrictamente decreciente para $n\ge 2$, tenemos para todos los $N\ge 2$ la desigualdad

$$\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n\log_2 n}=\sum_{n=2}^{N}\frac{\log 2}{n\log n}\ge\int_2^{N+1}\frac{\log 2}{x\log x}\,dx$$

Answer 3

La divergencia

Usando la desigualdad $$ \log(1+x)\le x\etiqueta{1} $$ dos veces, obtenemos $$ \begin{align} \log(\log(n+1)) &=\log\left(\log(n)+\log\left(1+\frac1n\right)\right)\\ &=\log(\log(n))+\log\left(1+\frac{\log\left(1+\frac1n\right)}{\log(n)}\right)\\ &\le\log(\log(n))+\frac{\log\left(1+\frac1n\right)}{\log(n)}\\ &\le\log(\log(n))+\frac1{n\log(n)}\tag{2} \end{align} $$ Es decir, $$ \frac1{n\log(n)}\ge\log(\log(n+1))-\log(\log(n))\etiqueta{3} $$ Sumando $(3)$, y darse cuenta de que la suma a la derecha de los telescopios, vemos que $$ \begin{align} \sum_{n=2}^m\frac1{n\log_2(n)} &=\log(2)\sum_{n=2}^m\frac1{n\log(n)}\\ &\ge\log(2)[\log(\log(m+1))-\log(\log(2))]\tag{4} \end{align} $$ Desde el lado derecho de la $(4)$ crece sin límite, el de la serie en el lado izquierdo diverge.

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Comportamiento Asintótico

Primero de todo, $$ \sum_{k=2}^n\frac1{k\log_2(k)} =\log(2)\sum_{k=2}^n\frac1{k\log(k)}\etiqueta{5} $$ El uso de La de Euler de Maclaurin de la Suma de la Fórmula, obtenemos $$ \hspace{-1cm}\small\sum_{k=2}^n\frac1{k\log(k)} =\log(\log(n))+C+\frac1{2n\log(n)}-\frac1{12n^2\log(n)}-\frac1{12n^2\log(n)^2}+O\left(\frac1{n^4\log(n)}\right)\tag{6} $$ donde $$ C=0.7946786454528994022038979620651495140650\etiqueta{7} $$ En cualquier caso, $(6)$ significa que $(5)$ diverge.