Un pequeño problema en la Mentira Soportes relacionados con el conmutador de matrices

Question

Estoy tratando de resolver este problema:

Hay un toque de decir que no puede usar el hecho de que para $$X=a_i\frac{\partial }{\partial x_i}\text{ with } a_i\in C^\infty(U)$$ y $$Y=b_i\frac{\partial }{\partial x_i}\text{ with } b_i\in C^\infty(U)$$ tenemos $$[X,Y]=\left(a_{i}\frac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}-b_{i}\frac{\partial a_{j}}{\partial x_{i}}\right)\frac{\partial}{\partial x_{j}} $$

Pero yo no administrar a utilizar esta sugerencia de alguna manera útil. También, es obvio que el procedimiento parece ser el siguiente: $$\Psi([X,Y])(P)=P[X,Y]=P(XY-YX)=PXY-PYX$$ y $$[\Psi(X),\Psi(Y)](P)=\left(\Psi(X)\Psi(Y)-\Psi(Y)\Psi(X)\right)(P)\\=\Psi(X)\left(\Psi(Y)(P)\right)-\Psi(Y)\left(\Psi(X)(P)\right)=\Psi(X)\left(PY\right)-\Psi(Y)\left(PX\right)=PYX-PXY$$

Y esto es claramente incorrecto. Así:

1) ¿Qué echo de menos en mi intento?
2) consejos sobre la resolución de este utilizando la pista?

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EDIT: creo que puedo resolver esto mediante la sugerencia, si $[\tilde{X},\tilde{Y}](P)=[\tilde{X}(P),\tilde{Y}(P)]$. Sin embargo, no sé por qué/si esto es cierto, y la pregunta 1) aún se mantiene.

Answer 1

La primera línea : ('canónicas de identificación") significa decimos que un elemento de $T_I(GL(n,\mathbb{R}))$ puede ser considerado como un elemento de $M_n(\mathbb{R})$ y viceversa por medio de la vectorización.

Aquí un ejemplo de este canónicas de identificación para $n=2$ :

Vamos a : $Q \in T_I(GL(2,\mathbb{R})) $ , $Q= \left( \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \\ q_4 \\ \end{array} \right)$ ,
the corresponding matrix $\en M_2(\mathbb{R})$ becomes : $ \left( \begin{array}{c , c} q_1 & q_3 \\ q_2 & q_4 \\ \end{array} \right)$.

Con el canónicas de identificación también podemos definir el mapa : $\Psi : T_I(GL(n,\mathbb{R})) \mapsto \mathfrak{X}(GL(n,\mathbb{R}))$ como un producto de matrices debido a un campo de vectores asigna un elemento de $GL(n,\mathbb{R})$ a un elemento de $T_P(GL(n,\mathbb{R}))$ en cada punto de $P$ :

Para hacer un campo vectorial de un vector en el $T_I$ tenemos que asignar un vector a cada elemento de a $GL(n,\mathbb{R})$.
Decidimos hacerlo por la izquierda-multiplicar' con dicho elemento de $GL(n,\mathbb{R})$ que hemos denominado"$P$ .
Así que (por $n=2$ ) en coordenadas, $P$ es de hecho tan sólo : $\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{array} \right)$ or $\left( \begin{array}{c , c} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4 \\ \end{array} \right)$.

De esta manera $\Psi \left( X \right) = PX $ se convierte en :
$ \left( \begin{array}{c , c} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c , c} X_1 & X_3 \\ X_2 & X_4 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c , c} x_1X_1 + x_3X_2 & x_1X_3 + x_3X_4 \\ x_2X_1 + x_4X_2 & x_2X_3 + x_4X_4 \\ \end{array} \right)$
O :
$\Psi \left( X \right) =\left( \begin{array}{c , c} x_1X_1 + x_3X_2 \\ x_2X_1 + x_4X_2 \\ x_1X_3 + x_3X_4 \\ x_2X_3 + x_4X_4 \\ \end{array} \right)$ and $\Psi \left Y \right) =\left( \begin{array}{c , c} x_1Y_1 + x_3Y_2 \\ x_2Y_1 + x_4Y_2 \\ x_1Y_3 + x_3Y_4 \\ x_2Y_3 + x_4Y_4 \\ \end{array} \right)$

Ahora de acuerdo a la sugerencia tenemos :
$[\Psi \left( X \right) ,\Psi \left( Y \right) ]= \left(\Psi \left( X \right)_{i}\frac{\partial \Psi \left( Y \right)_{j}}{\partial x_{i}}-\Psi \left( Y \right)_{i}\frac{\partial \Psi \left( X \right)_{j}}{\partial x_{i}}\right)\frac{\partial}{\partial x_{j}} $ (con convenio de sumación de Einstein ).

Trabajamos a cabo el primer componente :
$[\Psi \left( X \right) \Psi \left Y \right) ]_1= \left(\Psi \left( X \right)_{i}\frac{\partial \Psi \left Y \right)_{1}}{\partial x_{i}}-\Psi \left Y \right)_{i}\frac{\partial \Psi \left( X \right)_{1}}{\partial x_{i}}\right) = \left( \Psi \left( X \right)_{1}\frac{\partial \Psi \left Y \right)_{1}}{\partial x_{1}} + \Psi \left( X \right)_{3}\frac{\partial \Psi \left Y \right)_{1}}{\partial x_{3}} -\Psi \left Y \right)_{1}\frac{\partial \Psi \left( X \right)_{1}}{\partial x_{1}} -\Psi \left Y \right)_{3}\frac{\partial \Psi \left( X \right)_{1}}{\partial x_{3}}\right) = \left( \Psi \left( X \right)_{1}Y_1 + \Psi \left( X \right)_{3}Y_2 -\Psi \left Y \right)_{1}X_1 -\Psi \left Y \right)_{3}X_2 \right) = \left( (x_1X_1 +x_3X_2)Y_1 + (x_1X_3 +x_3X_4)Y_2 -(x_1Y_1 +x_3Y_2)X_1 -(x_1Y_3 +x_3Y_4)de X_2 \right) = x_1(X_3Y_2-X_2Y_3) + x_3(X_2Y_1 -X_1Y_2) + x_3(X_4Y_2-X_2Y_4) $

Ahora el cálculo del primer componente de $\Psi \left( [X,Y] \right)$ :
$ \Psi \left( [X,Y] \right) = \left( \begin{array}{c , c} x_1 & x_3 \\ x_2 & x_4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c , c} X_1Y_1 + X_3Y_2 -Y_1X_1 - Y_3X_2 & X_1Y_3 + X_3Y_4 -Y_1X_3 - Y_3X_4 \\ X_2Y_1 + X_4Y_2 -Y_2X_1 - Y_4X_2 & X_2Y_3 + X_4Y_4 -Y_2X_3 - Y_4X_4 \\ \end{array} \right) $

Vemos los primeros componentes (y también los otros componentes) son iguales, y la generalización de a $n > 2$ es trivial.

$\square$