Si $X$ es diagonal con entradas diagonales distintas y $XY = YX$ entonces $Y$ también es una matriz diagonal.

Question

Si $X$ es diagonal con entradas diagonales distintas y $XY = YX$ entonces $Y$ también es diagonal.

Estaba tratando de probar esto.

He intentado lo siguiente -

Como sabemos que $X$ es de entradas diagonales distintas, lo que significa que los valores propios distintos implican que $X$ es diagonalizable.

es decir $X = P^{-1}XP$ donde $P$ es la matriz cuyas columnas son los vectores propios de $X$ .

Ahora se nos da que $XY = YX$ o $X = Y^{-1}XY$ pero esto es para todos $Y$ Supongo que sí.

Ahora para $Y = P$ está claro que $Y$ es diagonalizable, pero para otros $Y$ ¿cómo podemos demostrar que son diagonalizables?

Answer 1

La forma más fácil de verlo es mirar los elementos de $XY = YX$ :

$$ (XY)_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^d X_{ik} Y_{kj} = X_{ii} Y_{ij}. $$

Por otro lado,

$$ (YX)_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^d Y_{ik} X_{kj} = Y_{ij} X_{jj}. $$

Por lo tanto,

$$ X_{ii} Y_{ij} = X_{jj} Y_{ij}. $$

Si $i \neq j$ entonces $Y_{ij} = 0$ porque $X_{ii} \neq X_{jj}$ .

Answer 2

Los valores propios no son necesarios aquí. Todo lo que hay que observar es que $XY$ con $X$ diagonal multiplica las filas de $Y$ por las entradas diagonales de $X$ y que $YX$ hace lo mismo para $Y$ de las columnas.

El $(i,j)$ -entradas de $XY$ y $YX$ son $x_{ii}y_{ij}$ y $x_{jj}y_{ij}$ respectivamente. Si $XY=YX$ y $i\ne j$ , $x_{ii}\ne x_{jj}$ implica $y_{ij}=0$ Así que $Y$ es diagonal.

Answer 3

Sugerencia Si $A = (a_{i, j})_{1\le i,j\le n}$ y $B = (b_{i, j})_{1\le i,j\le n}$ son matrices, entonces $$AB = \left(\sum_{k} a_{i, k} b_{k,j}\right)_{1\le i,j\le n}$$