En el axioma de separación en un Lawvere o "generalizada" de espacio métrico

Question

De acuerdo a la nLab, Lawvere métrica espacios ocurren naturalmente (que es como ciertos enriquecido categorías). Un Lawvere espacio métrico es un conjunto $X$ equipada con una función de $d : X\times X \to [0,\infty]$, tal que:

1. $d(x,x) = 0$
2. $d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z)$

Yo no tengo ningún fondo en enriquecida categoría de teoría, por lo que sólo se puede ver la teoría de Lawvere métrica espacios en un nivel elemental.

La omisión de la separación axioma, que es:

$$d(x,y) = 0 \Rightarrow x = y$$

parece causar algunas cosas extrañas. Considerar la categoría de Lawvere métrica espacios, donde una de morfismos $f : X \to Y$ es una función tal que:

$$d(x,y) \geq d(fx,fy)$$

Es bien sabido, que si también es una isometría, entonces $f$ es inyectiva. Pero parece que para Lawvere métrica espacios que usted no puede probar que cada isometría es aún mono en la categoría de Lawvere espacios. Sólo puedo mostrar que estos mapas son "casi" inyectiva en el sentido de que:

$$fx \cong fy \Rightarrow x \cong y$$

donde $x\cong y \Leftrightarrow d(x,y) = d(y,x) = 0$.

¿Cómo puedo ver esta "situación" (de isometrías ser "casi" mono / inyectiva), de tal manera que parece natural en lugar de "raro" y no deseados?

Answer 1

Supongo que usted está buscando algunos de los ejemplos del mundo real de la pseudo-métricas de espacios (que corresponden a lo que llamamos Lawvere-métrica espacios).

Así una familia de ejemplos está dada por la $\mathcal L^p$-espacios (donde $p$ es un número real en $[1,\infty]$).

En general, para $(\Omega,\mathcal F, \mu)$ medido espacio, tenemos el espacio vectorial $\mathcal L^p(\Omega)$ cuyos elementos son funciones medibles $f \colon \Omega \to \mathbb R$ tal que $$\int |f(x)|^p d\mu(x) < \infty\ .$$ Para ser exactos $\mathcal L^p(\Omega)$ es un sub-espacio del espacio vectorial $\mathbb R^\Omega$ de los verdaderos valores de la función definida sobre $\Omega$. Lo que es más es que la asignación de $$d \colon \mathcal L^p(\Omega)\times\mathcal L^p(\Omega) \to \mathbb [0,\infty)$$ definido por $$d(f,g) = \left(\int |f(x)-g(x)|^pd\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}$$ le da a este espacio de la estructura de pseudo-espacio métrico.

No es un espacio métrico, porque hay muchas funciones en $\mathcal L^p(\Omega)$ que hacen nula la integral $$\int |f(x)|^pd\mu(x)$$ mientras que el ser no nulo.

Por supuesto, uno puede cociente de estos espacios para obtener algunas métricas espacios, sin embargo es importante considerar estos espacios que en algún momento si a uno lo que debe establecer resultados precisos de la $L^p(\Omega)$ espacios: los espacios obtenidos por la $\mathcal L^p(\Omega)$ la identificación de las funciones cuya distancia es cero.

Echa un vistazo a el enlace de arriba para obtener más información.

Edit: veo que mi respuesta no la dirección de su verdadera pregunta, permítame hacer una enmienda.

Deje $p$ ser arriba y deje $p' \in [1,\infty]$ ser el único número tal que $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$.

Por $\mathcal L^{p'}(\Omega)^*$ vamos a denotar el espacio de lineal continua y funcionales, definida sobre el espacio de $\mathcal L^{p'}(\Omega)$.

Resultados en $\mathcal L^p$-espacios asegurarse de que no es lineal en el mapa $$i \colon \mathcal L^p(\Omega) \to \mathcal L^{p'}(\Omega)^*$$ se define como $$i(f)=g \mapsto \int f(x)g(x)d\mu(x)\ .$$ Este mapa es una isometría en su sentido, todavía es muy importante. De nuevo, si usted pase este isometría para el cociente de los espacios ($L^p(\Omega)$ y $L^{p'}(\Omega)^*$ , respectivamente), el de obtener una real isometría entre métrica-espacios.

Otro ejemplo de este extraño isometría es la proyección para el cociente $$\mathcal L^p(\Omega) \to L^p(\Omega)$$ como señala Kevin Carlson abajo en los comentarios.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Este es otro ejemplo de la "equivalencia en lugar de la igualdad".

Monic mapas "debería" no se caracteriza por $f(x) = f(y) \implies x=y$: el derecho a la caracterización debe ser $f(x) \cong f(y) \implies x \cong y$.

(nota: lo siguiente fue escrito en torno a la versión simétrica; donde también suponemos $d(x,y) = d(y,x)$. Sin esta suposición de que los detalles son más complejas)

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El derecho subyacente de la colección de puntos de aquí es no el conjunto $X$: es el lugar setoid que consta de $X$ junto con la relación de equivalencia que $x \sim y$ fib $d(x,y) = 0$.

Esto puede ser visto como un ordinario de la categoría cuyos objetos son los elementos de $X$ $\hom(x,y)$ tiene exactamente un elemento, si $x \sim y$, y está vacía de otra manera.

Cada pequeño setoid $S$ es equivalente a un conjunto de $S_s$ el (e.g el conjunto de clases de equivalencia), y el habitual punto es que el trabajo con $S$ debe ser básicamente la misma cosa como el trabajo con $S_s$, y así tenemos que adaptar nuestras definiciones de forma adecuada. ($S_s$ no es un estándar de notación)

por ejemplo, dado un morfismos $S \to T$, la correspondiente morfismos $S_s \to T_s$ es monic fib y sólo si el original de morfismos es un functor (automáticamente se fiel). En consecuencia, el derecho a la noción de "monic mapa" entre setoids es la "llena functor".

Esto está de acuerdo con la caracterización dada al principio.

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Del mismo modo, cada Lawvere espacio métrico $X$ es equivalente a un $X_s$ con la propiedad de que $d(x,y) = 0$ fib $x=y$. La misma construcción de las obras: tomar los objetos de $X_s$ a ser el conjunto de clases de equivalencia.

Y así como para setoids, nos tenemos que adaptar nuestra noción de monic; debe ser que $d(fx,fy)=0 \implies d(x,y)=0$.

Answer 3

Jean Goubeault-Larrecq ha escrito un detallado libro de texto de nivel de introducción a "Lawvere" métrica de espacios a partir de un topológico punto de vista en el Capítulo 6 de su libro de No-Hausdorff de la Topología y de Dominio de la Teoría. Él define un hemi-métrica del espacio a ser un conjunto $X$ equipada con una función de $d\colon X\times X\to[0,\infty]$ tal que

1. $d(x,x)=0$
2. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Recordemos que un espacio topológico se satisface la $T_0$ separación axioma, es decir, es Kolmogoroff, si y sólo si para cualquier par $x\neq y\in X$, hay un abrir$U$, de modo que cualquiera de las $x\in U,y\not\in Y$ o $x\not\in U,y\not\in U$. En otras palabras, un espacio topológico es Kolmogoroff si y sólo si los puntos son "topológicamente distinguible".

Cuasi-espacio métrico $(X,d)$ tiene una topología con una base dada por la apertura de bolas $B_{x,<\epsilon}^d=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon\}$$\epsilon\in(0,\infty)$. Un cuasi-espacio métrico $(X,d)$ $T_0$ si y sólo si satisface

3. $d(x,y)=0=d(y,x)\implies x=y$

en cuyo caso Goubeault-Larrecq llama un cuasi-espacio métrico. Si $(X,d)$ es un cuasi-espacio métrico y $(X',d)$ es un hemi-espacio métrico, entonces isométrica incrustaciones $(X,d)\to(X',d')$ son también topológico de incrustaciones. En otras palabras, la métrica de incrustaciones son topológicas incrustaciones si la topología asociada a la topología para el dominio distingue puntos. De hecho, el converso tiene porque $d(x,y)=0=d(y,x)$ implica $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)=d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)=d(x,z)$$d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)=d(z,y)\leq d(z,x)+d(x,y)=d(z,x)$, por lo tanto el cociente $X\twoheadrightarrow X/\sim$ por la relación $x\sim y$ si $d(x,y)=0=d(y,x)$ es una isometría $(X,d)\to (X/\sim,d)$ a partir de una hemi-espacio métrico a su "cuasi-sistema métrico".

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La relación anterior entre isometrías y las inyecciones, y en particular por qué isometrías no siempre son las inyecciones puede ser entendido mediante la teoría de categorías topológicas. Una referencia rápida de la Sección 11 de Oswald Wyler las Notas de la Conferencia en Topoi y Quasitopoi; un tratamiento más detallado se puede encontrar en La Alegría de los Gatos. Lo que escribo a continuación es un ejemplo de la aplicación de la teoría a la hemi-métricas de los espacios.

Considerar la categoría de $\mathcal Hem$ de la hemi-métrica espacios y $1$-Lipschitz funciones entre ellas, es decir, las funciones de $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ tal que $d'(f(x),f(y))\leq d(x,y)$.

• El olvidadizo functor $\mathcal Set\xleftarrow{U}\mathcal Hem$ es fiel, que es inyectiva en morfismos, establece, pues, establece $\mathcal Hem$ como una concreta categoría.

• $U$ es transportable en el sentido de que para cualquier bijection $X\overset f\cong X'$ y un hemi-métrica estructura $(X',d')$ existe un único hemi-métrica estructura $(X,d)$ $(X,d)\overset f\cong (X',d')$ un isomorfismo en $\mathcal Hem$. Esta es la categórica la versión de la declaración de que si $f$ es un isomorfismo en $\mathcal Hem$, $f$ es una isometría.

• Dada una colección de hemi-métrica espacios de $(X'_i,d'_i)$ y una colección de funciones de conjunto $X\xrightarrow{f_i}X'_i$ (es decir, una fuente para $\mathcal Set\xleftarrow{U}\mathcal Hem$), el hemi-métrica estructura $(X,d)$ $d(x,y)=\sup_id_i'(f_i(x),f_i(y))$ es una elevación inicial en el sentido de que una función del conjunto de $X''\xrightarrow{g}X$ $1$- Lipschitz para $(X'',d'')\xrightarrow{g}(X,d)$ si y sólo si cada una de las $(X'',d'')\xrightarrow{f_i\circ g}(X',d')$ es $1$-Lipschitz. De hecho, $d'(f_i(g(x''),f_i(g(y''))\leq d''(x'',y''))$ por cada $i$ si y sólo si $d(g(x''),g(y''))\leq d''(x'',y'')$. Usted debe pensar en esta como análogo a tener una más débil de la topología en un conjunto, de modo que una determinada colección de funciones de conjunto de espacios topológicos será continua.

• Dada una colección de hemi-métrica espacios de $(X_i,d_i)$ y una colección de funciones de conjunto $X_i\xrightarrow{g_i}X'$ (es decir, un fregadero para $\mathcal Set\xleftarrow{U}\mathcal Hem$), considerar la fuente que consta de todas las funciones de $X'\xrightarrow{f_j}(X''_j,d''_j)$ tal que $(X_i,d_i)\xrightarrow{f_j\circ g_i}(X''_j,d''_j)$ $1$- Lipschitz para cada una de las $i$. La elevación inicial $(X',d')$ de esta fuente dada por $d'(x',y')=\sup_jd''_j(f_j(x'),f_j(y'))$ es también un final de elevación del fregadero bajo consideración. Este es un análogo de la más fuerte de la topología en un conjunto, de modo que una determinada colección de funciones de conjunto de espacios topológicos será continua. Tenga en cuenta que el mejor cálculo explícito de la hemi-métrica de la final ascensor es la desigualdad de $d'(x',y')\leq\inf_{i,x,y:g_i(x)=x',g_i(y)=y'}d_i(x,y)$.

Desde $\mathcal Set\xleftarrow{U}\mathcal Hem$ es fiel, transportable, y ha inicial de ascensores de todas las fuentes, da $\mathcal Hem$ la estructura de un topológica de la categoría de más de $\mathcal Set$. Dado un conjunto $X$, la elevación inicial $(X,d)$ de los vacíos de la fuente de $X$ es la indiscreta o trivial hemi-espacio métrico dado por $d(x,y)=0$: cualquier función de una hemi-espacio métrico para el trivial espacio es $1$-Lipschitz. Doblemente, el final de elevación $(X,d)$ de los vacíos del disipador de a $X$ es el discretos hemi-espacio métrico dado por $d(x,y)=\begin{cases}\infty&x\neq y\\0&x=y\end{cases}$: cualquier función de un hemi-espacio métrico es $1$-Lipschitz.

Por tanto, tenemos explícita discretos y trivial functors $D,T\colon \mathcal Set\to\mathcal Hem$ que son, por definición, la izquierda y la derecha adjoints para los desmemoriados functor $\mathcal Set\xleftarrow{U}\mathcal Hem$, es decir,$D\dashv U\dashv T$. Desde $U$ es fiel, se deduce que un $1$-Lipschitz función es una monomorphism (resp. epimorphism) en $\mathcal Hem$ si y sólo si es un monomorphism (resp. epimorphism) en $\mathcal Set$, es decir, si y sólo si es inyectiva o surjective.

Además, un $1$-función de Lipschitz $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ es un fuerte monomorphism (he.e incrustación de objetos) si y sólo si la función set $X\xrightarrow{f}X'$ es un fuerte monomorphism y $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ es gruesa en el sentido de que $(X,d)$ es la elevación inicial de la fuente de $X\xrightarrow{f}X'$. Puesto que todas las funciones inyectiva en a $\mathcal Set$ son fuertes monomorphisms, la primera condición es sólo el requisito de que $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ ser inyectiva, mientras que el segundo requisito es que el $d(x,y)=d(f(x),f(y))$, es decir, que $f$ es una isometría.

Por lo tanto una manera de responder a su pregunta, es decir que en un topológica de la categoría de más de $\mathcal Set$, grueso mapas no tienen que ser incrustaciones. La analogía con $\mathcal Top$ es que un mapa continuo $X\xrightarrow{f} Y$ es topológico, la incrustación si y sólo si es inyectiva y $X$ tiene el más débil de la topología para que $f$ es continua (si $f$ es inyectiva, esto es la topología de subespacio). Un $1$-Lipschitz mapa de $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ es por lo tanto una isometría si $(X,d)$ tiene el "más débil" hemi-métrica para que $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ $1$- Lipschitz mapa; ser inyectiva es completamente independiente de la condición.

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El $T_0$ axioma de separación entra en juego no de las isometrías, yo.e a partir de la gruesa morfismos pero a partir de "computable" "co-isometrías".

Doble a la anterior resultado, una $1$-función de Lipschitz $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ es un cociente en $\mathcal Hem$, es decir, un fuerte epimorphism, si y sólo si el conjunto de la función de $X\xrightarrow{f}X'$ es un fuerte epimorphism y $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ es fina, es decir, $(X',d')$ es el final de la elevación de la pileta $X\xrightarrow{f}X'$. Ya que cada epimorphism en $\mathcal Set$ es fuerte, la primera condición dice que $X\xrightarrow{f}X'$ es surjective, pero la segunda condición se mantiene en general uncomputable porque en el mejor de los que podemos decir $d'(x',y')\leq\inf_{x,y: f(x)=x',f(y)=y'}d(x,y)$.

Digamos que una multa de morfismos $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ es computably multa si la igualdad se mantiene, es decir,$d'(x',y')=\begin{cases}0&x'=y'\\\inf_{x,y: f(x)=x',f(y)=y'}d(x,y)&x'\neq y'\end{cases}$. A continuación, una función de $X\xrightarrow{f}X'$ a un hemi-espacio métrico $(X',d')$ tiene un computably multa de elevación si y sólo si $\inf_{x,y: f(x)=x',f(y)=y'}d(x,y)$ satisface la desigualdad de triángulo.

Pero la desigualdad de triángulo falla si y sólo si no existe$x_0,y_0,z_1,z_2\in X$$f(z_1)=f(z_2)$$\inf_{x,y: f(x)=f(x_0),f(y)=f(y_0)}d(x,y)>d(x_0,z_1)+d(z_2,y_0)$. Por otro lado, siempre tenemos $d(x,y)\leq d(x,x_0)+d(x_0,z_1)+d(z_1,z_2)+d(z_2,y_0)+d(y_0,y)$.

Para evitar el fracaso de la desigualdad de triángulo, es suficiente para exigir que $f(z_1)=f(z_2)$ implica $d(z_1,z_2)=0$ (que por simetría de $f(z_1)=f(z_2)$ implica también la $d(z_2,z_1)=0$). Creo que esta condición es equivalente a la condición de que la topología asociada a $(X',d')$ es el más fuerte de la topología que hace que $X\xrightarrow{f}X'$ continuo de $X$ equipada con el open de bola de la topología de $(X,d)$, por lo tanto voy a llamar a esas funciones de Lipschitz $(X,d)\xrightarrow{f}(X',d')$ topológicamente fina.

En consecuencia, tenemos una explícita la clase de fuerte epimorphisms en $\mathcal Hem$ dada por los surjective $(X,d)\xrightarrow{f} (X',d')$ tal que $f(x)=f(y)\implies d(x,y)=0=d(y,x)$ (es decir, los cocientes por cierta cantidad de topológico indistinguishability) y $d'(x',y')=\inf_{x,y:f(x)=x',f(y)=y'}d(x,y)$ (por lo tanto, topológicamente multa de cocientes en $\mathcal Hem$).

Esta clase es el de la izquierda de clase en un ortogonales de la factorización de sistema , cuyo derecho de la clase son los morfismos tal que $x\neq y\wedge f(x)=f(y)\implies\neg(d(x,y)=0=d(y,x))$. Esto significa que cualquier $1$-Lipshitz función de $(X,d)\to(X',d')$ factores de forma exclusiva (hasta el isomorfismo) como $(X,d)\to (X'',d'')\to (X',d')$ donde el primer mapa que está en la izquierda de la clase y el segundo en la clase de derecho, y además en un conmutativa de la plaza

$$\requieren{AMScd}\begin{CD} W @>f>> Y\\ @VLVV @VRVV\\ X @>g>> Z \end{CD}$$

no hay una única diagonal de morfismos $X\to Y$ factoring $g$ a través de $R$ $f$ a través de $L$. De hecho, $W\xrightarrow{L}X$ es un cociente, y $L(w_1)=L(w_2)$ implica $d(w_1,w_2)=0=d(w_2,w_1)$$R\circ f(w_1)=g\circ L(w_1)=g\circ L(w_2)=R\circ f(w_2)$. La primera y $f$ $1$- Lipschitz da $d(f(w_1),f(w_2))=0=d(f(w_2),f(w_1))$, por lo tanto $f(w_1)=f(w_2)$ por el segundo y la condición en la clase de derecho. Desde morfismos en $L$ son bellas en $\class Hem$, la diagonal asigna a sí mismo es $1$-Lipschitz.

Tenga en cuenta que el ortogonal de la factorización de sistema no es un fuerte epi-mono de la factorización de sistema, ya que el derecho de la clase de morfismos no consiste inyectiva funciones -- pero tenga en cuenta que esta falta de inyectividad es nunca porque topológicamente indistinguible puntos están recibiendo derrumbó. De ello se desprende que la factorización de un morfismos $(X,d)\to (X',d')$ donde $X',d')$ es un cuasi-espacio métrico es exactamente la única factorización a través de la cuasi-sistema métrico de la hemi-espacio métrico.

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Tenga en cuenta que la simetría no es utilizado en cualquier lugar; una hemi-espacio métrico $(X,d)$ satisface la condición más fuerte

4. $d(x,y)=0\implies x=y$

si y sólo si el asociado espacio topológico satisface la $T_1$ separación axioma: para cualquier par de $x\neq y\in X$, hay un abrir$U$, de modo que $x\in U,y\not\in Y$.