$f\colon M\to N$ continua si $f(\overline{X})\subset\overline{f(X)}$

Question

Posible duplicado:
Continuidad y cierre

$f\colon M\to N$ es continua si para todo $X\subset M$ tenemos que $f\left(\overline{X}\right)\subset\overline{f(X)}$ .

Sólo probé $\implies$ .

Si $f$ es continua, entonces para cualquier $X\subset M$ ,

$$X\subset f^{-1}[f(X)]\subset f^{-1}\left[\overline{f(X)}\right]=\overline{f^{-1}\left[\overline{f(X)}\right]}$$

por lo tanto

$$\overline{X}\subset f^{-1}\left[\overline{f(X)}\right]\implies f\left(\overline{X}\right)\subset \overline{f(X)}.$$

El otro lado debe ser la misma idea, pero no sé por qué no puedo probarlo.

Añadido: Con exactamente la misma idea cuando probé $\implies$ He comprobado que $\Longleftarrow$ ,

Dejemos que $F\subset N$ cualquier conjunto cerrado entonces:

$$f\left[f^{-1}(F)\right]\subset f\left[ \overline{f^{-1}(F)}\right]\subset \overline{f\left[ f^{-1}(F)\right]}\subset \overline{F}=F$$

en particular

$$f\left[ \overline{f^{-1}(F)}\right]\subset F\implies f^{-1}(F)\supset\overline{f^{-1}(F)}$$

entonces $f^{-1}(F)=\overline{f^{-1}(F)}$ y $f$ es continua.

Answer 1

Supongamos que $f$ no es continua. Entonces hay un conjunto cerrado $C\subseteq N$ tal que $f^{-1}[C]$ no está cerrado en $M$ . Sea $X=f^{-1}[C]$ . Desde $X$ no está cerrado, hay algún $p\in\operatorname{cl}X\setminus X$ . Entonces $f(p)\in f[\operatorname{cl}X]$ pero $f(p)\notin C\supseteq\operatorname{cl}f[X]$ Así que $f[\operatorname{cl}X]\nsubseteq\operatorname{cl}f[X]$ .

Answer 2

En primer lugar, un hecho general sobre los mapas de conjuntos: $$X \subseteq f^{-1} Y \iff f X \subseteq Y$$ Ahora, supongamos que para todos $X$ en $M$ tenemos $f \overline{X} \subseteq \overline{f X}$ . Sea $Y$ sea un subconjunto cerrado de $N$ y que $X = f^{-1} Y$ . Un mapa $f : M \to N$ es continua si y sólo si la preimagen de todo conjunto cerrado es cerrada, por lo que tenemos que demostrar $X$ está cerrado. Claramente, $f X \subseteq Y$ y $X = f^{-1} f X$ . Considere $\overline{X}$ Tenemos $X \subseteq \overline{X}$ Así que $f X \subseteq f \overline{X} \subseteq \overline{f X} \subseteq Y$ Por lo tanto $\overline{X} \subseteq f^{-1} Y = X$ es decir $\overline{X} = X$ .

Answer 3

Dejemos que $V\subset N$ sea un conjunto abierto alrededor de $f(x)$ . Entonces su complemento $V^c$ está cerrado. Sea $U=cl({f^{-1}(V^c)})^c$ . Entonces es un conjunto abierto. Debido a la propiedad de la función: $$ f(cl({f^{-1}(V^c)}))\subset cl(f({f^{-1}(V^c)}) \subset V^c $$ vemos que $x\in U$ y que $f(U)\subset V$ . Entonces f es continua.

Answer 4

Creo que tengo la respuesta. Deja que $F\subset N$ cualquier conjunto cerrado entonces:

$$f\left[f^{-1}(F)\right]\subset f\left[ \overline{f^{-1}(F)}\right]\subset \overline{f\left[ f^{-1}(F)\right]}\subset \overline{F}=F$$

en particular

$$f\left[ \overline{f^{-1}(F)}\right]\subset F\implies f^{-1}(F)\supset\overline{f^{-1}(F)}$$

entonces $f^{-1}(F)=\overline{f^{-1}(F)}$ y $f$ es continua.

Answer 5

Supongamos que $f$ no es continua. Entonces, para algún $U$ abrir en $N,$ $f^{-1} (U)$ no contiene ningún barrio $N_x$ sobre algún punto $x\in f^{-1} (U).$ En otras palabras, $N_x \cap M / f^{-1} (U) $ es no vacía para cada $N_x,$ para que $x \in \overline{M / f^{-1} (U)}$ - por lo tanto $f(x) \in f(\overline{M / f^{-1} (U)} ).$ Sin embargo, $\overline{ f( M / f^{-1} (U) )} \subset \overline{N / U} = N/U,$ y $x\notin N/U.$ Así, $f(\overline{M / f^{-1} (U)} )$ no está contenida en $\overline{ f( M / f^{-1} (U) )}.$