Dos definiciones distintas de la forma canónica de Jordan

Question

Actualmente estoy leyendo dos libros de álgebra lineal. Uno es Hoffman/Kunze y el otro es Friedberg/Insel/Spence. Ellos definen la forma canónica de Jordan de operador lineal en diferentes maneras. En Hoffman del libro, Jordania formas se obtienen por la descomposición primaria y ciclo de descomposición. En este caso, 1 pueden aparecer algunos sub-diagonal entradas. Por ejemplo,

$M = \begin{array}{cc} 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{array}$

Pero en Friedberg (Y de casi cualquier otro álgebra lineal libros para ingenieros...), 1 pueden aparecer algunos super-diagonal entradas. Por ejemplo,

$M' = \begin{array}{cc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ \end{array}$

Puede alguien explicar por qué se definen de manera diferente y la relación de cada uno de los otros?

Answer 1

Suponga que $T \colon V \rightarrow V$ es nilpotent operador y podemos encontrar un vector $v \in V$ para que el conjunto $\{ v, Tv, T^2v, \dots, T^{n-1}v \}$ es una base para$V$, de modo que el Jordan en la forma de $T$ tiene un solo bloque. Así, tenemos la siguiente imagen:

$$ v \mapsto Tv \mapsto \dots \mapsto T^{n-1}v \mapsto 0. $$

Esa base se llama una cadena de base para $V$ (con respecto al $T$). La matriz de $T$ con respecto a la ordenada base $\mathcal{B} = (v, Tv, \dots, T^{n-1}v)$ está dado por

$$ [T]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 1 & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

mientras que la matriz de $T$ con respecto a la misma base ordenada de manera diferente a como $\mathcal{B}' = (T^{n-1}v, T^{n-2}v, \dots, v)$ está dado por

$$ [T]_{\mathcal{B}'} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 1 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$

Por lo tanto, las dos variantes de la Jordan en la forma de $T$ en este caso corresponden a la elección de dos órdenes diferentes para una cadena de base de $V$ con respecto al $T$. Elegir entre los dos órdenes es en gran medida una cuestión de convención. Esto, obviamente, se generaliza cuando el Jordán forma de $T$ tiene más de un bloque de Jordan.

Answer 2

la deferencia es que aquí el cambio de base por un particular permutación sobre los vectores de la base y nos metemos en la primera base uno menor de Jordan de la matriz y en la segunda base superior de un Jordania de la matriz, como en el caso de la primera base es de la forma $\{f(u),u,f(v),v,w\}$ donde $u$ es un autovector asociado al autovalor $2$, e $v,w$ dos vectores propios asociado al autovalor $3$ ( con $v$ convenable), y el segundo Jordan en la forma es la matriz de $f$ relativamente a la base $\{u,f(u),v,f(v),w\}$.