Deje $G$ a ser abelian grupo y $|G|=mn$ cuando $(m,n)=1$. $G_m=\{g\mid g^m=e\}$,$G_n=\{g\mid g^n=e\}$, demostrar isomorfismo

Question

Yo quiero probar $ f:G_n\times G_m\rightarrow G$ al $f(g,h)=gh $ es un isomorfismo.

Lo primero que me mostró que $G_m,G_n$ son subgrupos de $G$ (fácil).

Ahora quiero mostrar que para cada $ a,b, \in G$, $f(ab)=f(a)f(b) $.

Deje $a=(g_1,h_1)$ $b=(g_2,h_2)$

$\implies f(g_1,h_1)=g_1h_1$ , $f(g_2,h_2)=g_2h_2$

$\therefore f(g_1,h_1) f(g_2,h_2)=g_1h_1g_2h_2=g_1g_2h_1h_2$ (debido a que G es abelian) $=f\bigl((g_1g_2),(h_1h_2)\bigr)$

Entonces, necesito mostrar que sólo $f(e)=e$.

Debido a $(m,n)=1$ sólo $f(e,e) = e e = e$.

Estoy en lo cierto? Si no ¿cómo puedo demostrarlo?

Es $f$ un isomorfismo incluso si $G$ no es abelian?

Answer 1

Supongamos que

$$f(a,b):=ab=e\implies a=b^{-1}$$

Buth te la última igualdad es imposible como $\;a\in G_n\;,\;\;b\in G_m\;$, por lo que el único elemento en cada una de ellas es la unidad, es decir,$\;G_n\cap G_m=\{e\}\;$ .

Para un contador de ejemplo con $\;G\;$ no abelian tome $\;G=S_3\;$ , aunque en este caso $\;G_2\;$ no es un subgrupo.