La ampliación de una función más allá de la terminación/cierre de su dominio

Question

En el análisis hay ciertos teoremas que indican las condiciones en las que continuamente se puede extender una funciones continuas para el cierre o finalización de su dominio (que en realidad dan el mismo conjunto, ya que cuando se habla de terminaciones tenemos que ser (al menos) en un espacio métrico).
Los teoremas que tengo en mente son estos tres:

• Cada uniformemente continua en la asignación entre un espacio métrico completo y un métrica puede ser extendido de manera uniforme, continua con la realización de un mapeo entre la finalización del dominio y el rango.
• Cada función continua en un subconjunto denso puede ser continuamente se extienden a la clausura de ese subespacio (que es, por definición, de "denso", todo el espacio).
• El teorema de aquí.

Lo que estoy buscando es una colección de teoremas que me diga en qué circunstancias se puede extender a una función continua más allá de la finalización o el cierre de su dominio.
La única teorema de este tipo, que yo sepa, es el famoso Tietze-Urysohn extensión del teorema (que se aplica a la función cuyo dominio es ya un conjunto cerrado).

Yo sería feliz con una referencia, mientras los teoremas mencionados no son rápidamente accesibles (es decir, no requieren de la lectura a través de un matorral de resumen/muy especializados definiciones antes de llegar a los teoremas - el más "concretas" los teoremas son (como en $\mathbb{R}^n$, o un espacio métrico), la mejor.

Answer 1

Problemas de extensiones vienen en dos formas básicas:

1. la extensión única de un no-conjunto cerrado para su cierre
2. no única de la extensión de un conjunto cerrado a un conjunto mayor

Así que tiene sentido que muchos de extensión de los teoremas de caer en una u otra clase. A veces sólo tienes que utilizar dos de ellas.

Pero la extensión de los teoremas de funciones de Lipschitz, desde el simple McShane-Whitney el teorema de la más sofisticada Kirszbraun del teorema y sus generalizaciones, no importa si el dominio está cerrado o no.

Los últimos dos tomos del libro de los Métodos de análisis geométrico en extensión y seguimiento de los problemas por Brudnyi y Brudnyi se parece a la referencia que usted desea. Tiene capítulos separados para los resultados de $\mathbb R^n$, y para general métrica espacios.