¿Cómo puedo 'demostrar' la derivada de esta función?

Question

Considere la función $$ f: (-1, 1) \rightarrow \mathbb{R}, \hspace{15px} f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} $$

Tengo la obligación de demostrar que la derivada de esta función es $$ f'(x) = \frac{1}{1+x} $$

He intentado hacerlo mediante la primaria de la definición de un límite, de la siguiente manera: $$ f'(x) = \lim_{un \rightarrow x} \left( \frac{f(a)-f(x)} {- x} \right) = \lim_{un \rightarrow x} \left( \frac{ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (-1)^{n+1} \cdot \frac{a^n}{n} \right]- \sum_{n=1}^{\infty}\left[ (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} \right]} {- x} \right) \\ = \lim_{un \rightarrow x} \left( \frac{ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ (-1)^{n+1} \cdot \frac{a^n - x^n}{n} \right]} {- x} \right) $$

pero estoy segura de cómo proceder a partir de aquí (suponiendo que mi enfoque es correcto. Alguien me puede ayudar a mostrar esto?

Answer 1

SUGERENCIA: si usted sabe que

$$\int_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t}=\ln(1+x),\quad x\in (-1,1)$$

entonces la pregunta es equivalente a probar que

$$\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{x^k}k=\ln(1+x),\quad x\in(-1,1)$$

Answer 2

Se puede observar que esta es la expansión de taylor para $\ln(x+1)$ y tomar su primera derivada, si usted ya sabe acerca de los derivados de $\ln(x+1)$.

De lo contrario, usted podría notar que la secuencia de funciones converge uniformemente en su radio de convergencia, y la derivada es continua y lineal de la función, por lo que

$\begin{align*}\frac{d}{dx} \lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{k} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}&=\lim_{k \to \infty} \sum_{n=1}^{k} (-1)^{n+1} \frac{d}{dx}\frac{x^{n}}{n}\\&=\lim_{k \to \infty}\sum_{n=1}^{k}(-1)^{n-1} n\cdot \frac{x^{n-1}}{n}\\&=\sum_{n=0}^{\infty}(-x)^n \end{align*}$

donde la penúltima igualdad proviene del hecho de que $(-1)^{n+1}=(-1)^{n-1}$. Esto tiene la bien conocida serie geométrica de la fórmula en el intervalo de $(-1,1)$, y es precisamente a $\frac{1}{1+x}$.

Answer 3

Utilice el hecho de que $a^n-x^n=(a-x)\sum_{i=1}^na^{n-i}x^{i-1}$, cancelando con el denominador y tomando el límite cuando $a\to x$ obtenemos $(-1)^{n+1}nx^{n-1}$ en el numerador. Cancelar la $n$ y ahora demostrar que el resultado de la suma converge a $\frac{1}{1+x}$ el uso de la alternancia de la serie.

Answer 4

No hay necesidad de discutir directamente de la definición de la derivada. Si usted podría mostrar convergencia uniforme, simplemente puede diferenciar término por término, lo que da una buena serie geométrica.

Entonces, ¿cómo mostrar la convergencia uniforme? El uso de la M de Weierstrass de la prueba. En cualquier intervalo cerrado $[-a,a]\subset(-1,1)$, los valores absolutos de los términos de su serie están delimitadas por $a^n$, y debido a $|a|<1$, la serie $\sum a^n$ converge. Así que la serie converge uniformemente en $[-a,a]$. Esto es todo lo que necesita para obtener la derivada en cualquier punto de $x_0\in(-1,1)$, para que usted simplemente escoja $a$, de modo que $|x_0|<a<1$.