$\lim_{x\to \infty} \ln x=\infty$

Question

Estoy leyendo el siguiente razonamiento:

Desde $\underset{n\to \infty}{\lim}\ln 2^n=\underset{n \to \infty}{\lim}n\cdot(\ln 2)=\infty$, entonces necesariamente $\underset{x\to \infty}{\lim}\ln x =\infty$.

No entiendo cómo la generalización que se hace de$\lim_{n\to \infty}\ln 2^n=\infty$$\lim_{x\to \infty} \ln x=\infty$.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

El logaritmo es monótona, por lo que es suficiente para mirar lo que sucede en los enteros. O incluso los enteros de la forma $2^n$.

Más concretamente, dado $K>0$ existe $n_0$$\ln 2^{n_0}\geq K$. Entonces, si $x\geq 2^{n_0}$, tenemos $$ \ln x\geq\ln 2^{n_0}\geq K. $$ Por lo $\lim_{x\to\infty}\ln x=\infty$.

Answer 2

La idea es que podamos hacer de la $\ln x$ arbitrariamente grande, haciendo $x$ lo suficientemente grande. Por lo tanto, decir que quiere hacer $\ln x > c$ arbitrariamente grande,$c$. Luego de algunos $n>\frac{c}{\ln 2}$

$x>2^n$ , de modo que $\ln x > n \ln 2 > c$ señalando que $\ln$ es cada vez mayor.

Answer 3

Con el fin de mostrar que el $\lim_{x \to \infty}\log x = \infty$ debemos demostrar que para cada $M > 0$ hay un $N > 0$ tal que $\log x > M$ todos los $x > M$. Y ya se sabe que $\lim_{n \to \infty}\log 2^{n} = \infty$, de modo que, dado cualquier $M_{1} > 0$ no es un número entero positivo $m$ tal que $\log 2^{n} > M_{1}$ todos los $n \geq m$.

Vamos a ver cómo podemos lograr nuestro objetivo de la información dada. La primera idea es coger $M_{1} = M$, de modo que no es un número entero $m > 0$ tal que $\log 2^{n} > M$ todos los $n \geq m$. Ahora sabemos que si $x > 2^{n} \geq 2^{m}$$\log x > \log 2^{n} > M$, por lo que es suficiente para tomar $N = 2^{m}$ y listo.

La idea fundamental es que el $\log x$ es monótona (no necesitamos estrictamente monótona de la naturaleza en la anterior prueba) y, por tanto, con el fin de demostrar que el $\log x \to \infty$ $x \to \infty$ es suficiente para considerar una secuencia $s_{n}$ de números positivos tal que $s_{n} \to \infty$ $n \to \infty$ y muestran que $\log s_{n} \to \infty$. Aquí hemos adoptado $s_{n} = 2^{n}$ y que podría haber llevado $s_{n} = a^{n}$ con $a > 1$. La razón por la que tomamos $s_{n}$ de la forma $a^{n}$ es que tenemos la propiedad $\log a^{n} = n\log a$ y esto hace que sea fácil mostrar que $\log s_{n} \to \infty$. Si tomamos cualquier otra secuencia de decir $s_{n} = 2n$ a continuación se obtienen $\log 2n = \log 2 + \log n$, entonces podemos establecer que $\log n$ tiende a infinito y este es de nuevo el problema con el que empezamos.

Answer 4

Para $x,y > 0$, $\ln x > \ln y$ si y sólo si $x > y$. También, para cualquier $n$ usted puede encontrar una $x$ que $x > 2^n$.

Esto muestra que para cualquier $S > 0$ existe un $x_0$ tal que $\ln x > S$ todos los $x > x_0$. Eso es lo que significa para $\ln x$ tener límite de $\infty$$x \to \infty$.

Answer 5

Para $2\leq n\in N$ $x\geq n$ hemos $$\ln x=\int_1^x(1/y)\;dy\geq \int_1^n(1/y)\;dy=\sum_{j=1}^{n-1}\int_j^{j+1}(1/y)\;dy\geq \sum_{j=1}^{n-1}\int_j^{j+1}(1/(j+1))\;dy=$$ $$=\sum_{j=1}^{n-1}1/(j+1).$$ There are many ways to show that this last sum has no upper bound as $n\to \infty.$ The simplest, I think,is $$1/2+1/3+1/4\;>\;1/2+2(1/4)=1,$$ $$1/2+1/3+...1/8\;>\;1/2+2(1/4)+4(1/8)=3/2,$$ $$1/2+1/3+...+1/16\;>\;1/2+2(1/4)+4(1/8)+8(1/16)=2,$$...... et cetera.