Si $x$ $y$ no son tanto $0$ $ x^2 +xy +y^2> 0$

Question

No puedo terminar esta prueba:

Probar que si $x$ $y$ no son tanto $0$ $ x^2 +xy +y^2> 0$

$ x^2 +xy +y^2 +xy -xy> 0$

$ (x +y)^2 -xy> 0$ Sin pérdida de generalidad definir $x\geq y$

En primer lugar el caso en que $y<0$ $x>0$ es trivial ya que tanto $ (x +y)^2$$-(xy) >0$.

Quiero decir, por transitividad como cada >0, que no suma debe ser ${}> 0$ puedo hacer eso?

El segundo caso trivial es $y=0$ porque simplemente no tenemos $ x^2 >0 $ donde $x>0$.

Por último debemos definir $c= x+y$ ya que tanto $x$ $y$ debe tener el mismo signo sabemos $|c|>x$ desde $x\geq y$ sabemos que $ x^2 \geq xy$ por último, desde $ |c|^2 = c^2$ $ \forall c \in \mathbb{R} $

Tenemos $ c^2 >x^2 \geq xy$ por lo tanto $c^2 -xy >0$

Me siento como que tengo todas las piezas, pero no se siente acabado, ¿cómo puedo solucionarlo?

Edit: estoy muy contento de haber hecho esta pregunta encanta la variedad de diferentes respuestas buenas ni idea de lo que es un discriminante es pero voy a ir a buscarlo. Yo quería darle a la aceptada respuesta a Edward como, en realidad, él respondió a mi pregunta, pero Anurag s prueba fue mucho mejor que mi intento. ^^

Answer 1

Considere la posibilidad de $T=x^2+xy+y^2$. a continuación,$2T=x^2+y^2+(x+y)^2 \geq 0$. La única manera de $T=0$ es al $x=0,y=0$, pero que ya ha sido descartado por las condiciones dadas.

Answer 2

He aquí otra manera:

Si $x=y$, entonces obvio. De otra manera: $$x^2+xy+y^2=\frac{x^3-y^3}{x-y}>0$$ como $f(x)=x^3$ es monótonamente creciente.

Answer 3

Simplemente puede indicar que $$ x^2+xy+y^2=(x+y/2)^2+3y^2/4\geq 0. $$ La igualdad es iff $x=y=0$. Así que si $x,y$ no son tanto $0$,$x^2+xy+y^2>0$.

Answer 4

La prueba es correcta. Los dos primeros casos son evidentes. El tercer caso se desprende directamente de la AM-GM de la desigualdad:

$$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$$ $$\Rightarrow x+y>\sqrt{xy}$$