Descomposición del vector con respecto a la suma directa de subespacios vectoriales

Question

$U$ y $W$ son dos subespacios del espacio vectorial $V$ .

Si $U \oplus W = V$ entonces $\forall v \in V$ existen dos vectores únicos $u \in U$ y $w \in W$ tal que $v = u + w$ .

¿Es cierto lo contrario? Es decir, si cualquier vector puede tener esa descomposición única, ¿tenemos $U \oplus W = V$ ?

¿Pueden generalizarse las afirmaciones anteriores a un número finito de subespacios $U_1,...,U_n$ en lugar de sólo dos $U$ y $W$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Para añadir a la respuesta de Gerben:

Si cada vector $v$ en $V$ tiene al menos uno expresión de la forma $v=u+w$ con $u\in U$ y $w\in W$ ( $U$ y $W$ subespacios de $V$ ), entonces $V=U+W$ .

Si cada vector $v$ en $V$ tiene como máximo uno (pero posiblemente ninguna) expresión de la forma $v=u+w$ con $u\in U$ y $w\in W$ entonces $U\cap W = \{0\}$ .

Por lo tanto, si cada vector $v$ en $V$ tiene exactamente uno expresión de la forma $v=u+w$ con $u\in U$ y $w\in W$ entonces $V=U\oplus W$ .

Para más de dos espacios hay que tener un poco de cuidado: ya no es suficiente para el $U_i$ para ser por parejas disjuntos (es decir, para $U_i\cap U_j$ para igualar $\{0\}$ pour $i\neq j$ ). Por ejemplo, tomemos $V=\mathbb{R}^2$ , $U_1$ el $x$ -eje, $U_2$ el $y$ -eje, y $U_3$ la línea $x=y$ . Entonces $U_1\cap U_2 = U_1\cap U_3 = U_2\cap U_3 = \{0\}$ pero $V$ no es la suma directa de $U_1$ y $U_2$ . En cambio, se tiene que dados los subespacios $U_1,\ldots,U_m$ de $V$ ,

• Cada vector $v\in V$ tiene al menos uno expresión de la forma $v=u_1+\cdots + u_m$ con $u_i\in U_i$ si y sólo si $V=U_1+\cdots+U_m$ (el lapso de $U_1,\ldots,U_m$ ).

• Cada vector $v\in V$ tiene como máximo uno (pero posiblemente no) expresión de la forma $v=u_1+\cdots + u_m$ con $u_i\in U_i$ si y sólo si para cada $i\in\{1,\ldots,m\}$ , $U_i\cap(\mathop{\sum}_{i\neq j}U_j) = \{0\}$ .

Answer 2

Sí. De hecho, basta con comprobar que la unicidad de la descomposición implica que $U$ y $W$ son disjuntos. Juntos, también abarcan $V$ ya que cada vector posee dicha descomposición. Para explicitar la prueba, consideremos el mapeo $V \rightarrow U \times W$ enviando cada vector $v$ a su descomposición $(u,w)$ ; entonces se pueden verificar los axiomas de la suma directa.

Para el caso general, puedes hacerlo por recurrencia, utilizando las propiedades básicas de las sumas directas (en particular la asociatividad).

Answer 3

Ejemplos[editar] Por ejemplo, el plano xy, un espacio vectorial bidimensional, puede considerarse como la suma directa de dos espacios vectoriales unidimensionales, a saber, los ejes x e y. En esta suma directa, los ejes x e y se cruzan sólo en el origen (el vector cero). La suma se define por coordenadas, es decir, (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2, y_1 + y_2), que es lo mismo que la suma de vectores.

Dados dos objetos A y B, su suma directa se escribe como A \oplus B. Dada una familia indexada de objetos A_i, indexada con i \in I, la suma directa puede escribirse \textstyle A= \bigoplus_ {i \in I}A_i. Cada Ai se llama sumando directo de A. Si el conjunto de índices es finito, la suma directa es la misma que el producto directo. En el caso de los grupos, si la operación de grupo se escribe como + se utiliza la expresión "suma directa", mientras que si la operación de grupo se escribe * se utiliza la expresión "producto directo". Cuando el conjunto de índices es infinito, la suma directa no es lo mismo que el producto directo. En la suma directa, todas las coordenadas, excepto las finitas, deben ser cero.

Sumas directas internas y externas[editar] Se distingue entre sumas directas internas y externas, aunque ambas son isomorfas. Si primero se definen los factores y luego se define la suma directa en términos de los factores, tenemos una suma directa externa. Por ejemplo, si definimos los números reales R y luego definimos R \oplus R la suma directa se dice que es externa. Si, por el contrario, definimos primero algún conjunto, S, y luego escribimos S como la suma directa de dos de sus subconjuntos propios, entonces se dice que la suma directa es interna. Para un ejemplo de suma directa interna, consideremos Z_6, los enteros módulo seis, cuyos elementos son {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Z_6 ={0, 3} \oplus {0, 2, 4}.