Por lo $m,n$, el límite existe.

Question

Deje $f: (0, \infty) \times (0, \infty) \to [0, \infty)$ dada por $$f(x,y) = \frac{x^ny^m}{x+y}.$$ Find all $m,n$ such that $\lim_{(x,y) \a (0,0)} f(x,y)$ existe.

Considerar la línea de $y=kx$ algunos $k \in \mathbb{R}$. Observamos que la \begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^ny^m}{x+y} &=& \lim_{(x,kx) \to (0,0)} \frac{x^n(kx)^m}{x+(kx)} \\ &=& \lim_{(x,kx) \to (0,0)} \frac{k^m x^{n+m}}{x(1+k)} \\ &=& \lim_{(x,kx) \to (0,0)} \frac{k^m}{1+k} \cdot x^{n+m-1}. \end{eqnarray*} diverge si $n+m-1 < 0$. También, el límite depende de $k$ si $n+m-1=0$. Por lo tanto, vemos que $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ si $n+m -1 > 0$.

Mi pregunta es relativa a la suficiencia, seguro, mi solución es necesario, pero es suficiente para simplemente tomar el camino de $y=kx$?

Answer 1

No, no es suficiente. Hay un montón de funciones $f(x,y)$ definido en la región que tienen el mismo límite a lo largo de cada línea de $y = kx$, pero cuyo límite no existe, por ejemplo, $f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4}$. Usted necesita demostrar rigurosamente, que para esta función no es tan difícil.

Answer 2

La transformación a coordenadas polares $(\rho,\phi)$, tenemos

$$\begin{align} \frac{x^ny^m}{x+y}&=\rho^{n+m-1}\frac{\cos^n(\phi)\sin^m(\phi)}{\sqrt{2}\sin(\phi+\pi/4)} \end{align}$$

Ahora, tenga en cuenta que para $x\ge 0$ y $y\ge 0$, $0\le \phi\le \pi/2$. Por lo tanto, nos encontramos con que

$$\left|\frac{\cos^n(\phi)\sin^m(\phi)}{\sqrt{2}\sin(\phi+\pi/4)} \right|\le 1$$

Por lo tanto, el límite de interés es $0$ al $n+m-1>0$, pero no existe otra manera (i.,e., el límite es el camino dependientes).

Answer 3

No muestran que el límite existe cuando $m,n$ son no negativos y $m+n>1.$

Para este caso, vamos a $z=\max(x,y).$ Tenemos $(x+y)^{-1}<z^{-1}$$x^n y^m\leq z^{n+m}.$, por Lo que $$0<x^n y^m (x+y)^{-1}<z^{n+m}z^{-1}=z^{m+n-1}.$$ And $\lim_{(x,y)\a (0,0)}z=0,$ so the limit of $f(x,y)$ is $0.$

También puede mostrar el límite no existe cuando se $n<0$ o $m<0$.