Por favor, que me ayude a entender este concepto de integridad de la geometría y me puso en el camino correcto.
Este es mi contexto: De wikipedia, un sistema formal es completo si cada tautología es también un teorema. Para mí esto significa que un sistema de axiomas es completo si cada afirmación es verdadera puede ser demostrado a partir de los axiomas (la pregunta es tautologías en qué tipo de lógica de primer orden, de segundo orden,...?). De todos modos, parece entonces que el concepto de integridad dependen del sistema de axiomas.
Así, en el caso de la Geometría Euclidiana, su integridad depende de sus axiomas (Por ejemplo, Euclides los Axiomas, los Axiomas de Hilbert, Tarki del Axiomas,etc). Comparando, por ejemplo, los axiomas de Hilbert y los axiomas dados por Tarski, puedo ver que son esencialmente diferentes en que Hilbert usos de segundo orden y lógica de Tarski sólo de la lógica de primer orden. También Tarski demostró que su sistema de axiomas es completa.
Ahora, el teorema de la incompletitud de Gödel indicó que el sistema de axiomas de la aritmética es incompleta. Así, si tenemos en cuenta $R^2$ $R^3$ como una representación de la Geometría Euclidiana estamos hablando de un sistema que no está completa, porque estamos usando los números reales. Así, estamos hablando de diferentes Geometrías Euclidiana? Estoy totalmente confundido.
