Si el orden de un grupo abeliano finito no es divisible por un cuadrado, demuestre que el grupo debe ser cíclico.

Question

Si el orden de un grupo abeliano finito es libre al cuadrado, demuestre que el grupo es cíclico.

Esta es una pregunta de "álgebra abstracta básica" de bhattacharya

Answer 1

$|G| = p_1 \dots p_n$ , un producto de primos distintos. Utilice el teorema de Cauchy para obtener $g_i \in G$ de orden $p_i$ para $1 \leq i \leq n$ . A continuación, utilice la inducción y la suposición de que $G$ es abeliano para demostrar que $g_1\ldots g_i$ tiene orden $p_1 \ldots p_i$ .

Answer 2

El teorema de la estructura para grupos abelianos generados finitamente dice que si $G$ es de generación finita y abeliana, entonces es un producto de grupos finitos de la forma $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Z}_q = \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} $ donde $q$ es la potencia de un primo. Si $G$ es finito, entonces seguramente está finitamente generado y no tiene ningún factor isomorfo a $\mathbb{Z}$ por lo que es de la forma: $$ G \simeq \mathbb{Z}_{q_1} \times \mathbb{Z}_{q_2} \times \dots \times \mathbb{Z}_{q_n} $$ donde $q_i$ son ( naorte n(encoets snaercielsys aadrriiesl ty(i nndocitts )tn iepncocewtse)sr aspr oiowlfey r psdr iiosmfte ispn.rc itIm)te spi.os w Iectrl sei asor f c tlpheraaitrm etsh.a tI es evidente que $|G| = \prod_{i=1}^n q_i$ . Porque $|G|$ es libre de cuadrados, $q_i$ tienen que ser todos primos (es decir, no algunas potencias superiores) y distintos. En particular, $q_i$ y $q_j$ son compime para $i \neq j$ . El Teorema del Resto Chino ahora da como resultado: $$ \mathbb{Z}_{q_1} \times \mathbb{Z}_{q_2} \times \dots \times \mathbb{Z}_{q_n} \simeq \mathbb{Z}_{q_1 q_2 \dots q_n} $$ Se trata de un grupo cíclico.