Ecuación de un toroide

Question

En el reciente documento http://arxiv.org/abs/1509.03612 página 37. Dicen que un toro puede ser descrito por la ecuación $$y^2=x(z-x)(1-x)$$ donde $x$ es una coordenada en la base $\mathbb{P}_1$ .

¿Podría alguien explicar por qué el toroide se describe con esta ecuación? Ingenuamente, yo pensaría que el toro se describe por $$\left(R-\sqrt{x^2+y^2}\right)^2+z^2=r^2$$ donde $R$ y $r$ son los dos radios de los dos círculos del toro. ¿Cuál es la relación entre estas dos ecuaciones?

Answer 1

Básicamente, esto está relacionado con la teoría de las superficies de Riemann. Estas superficies surgen en el análisis complejo cuando se intenta extender el plano complejo para que las funciones multivaluadas estén bien definidas.

Tomemos primero un ejemplo más sencillo. Consideremos la función $f(z) = \sqrt{ z}$ . Esta función no es de valor único, ya que $f( e^{2\pi i } z ) = - f(z)$ . La forma habitual de describir esto es afirmar que esta función tiene una rama que se corta a lo largo de un rayo que pasa por el origen. En el caso de las superficies de Riemann, lo que queremos es encontrar una colector que localmente se parezca al plano complejo ${\mathbb C}$ pero globalmente puede tomar alguna forma divertida de tal manera que hace $f(z)$ una función bien definida en esa superficie. Para $\sqrt{z}$ se podría definir la superficie de Riemann como un plano complejo de 2 hojas con la siguiente propiedad - Comienza en un punto de la hoja 1, $z$ . A continuación, gire por $2\pi$ es decir $z \to e^{2\pi i } z$ y en lugar de llegar al punto original (que sería el caso si la superficie fuera $\mathbb C$ ), llegamos al punto correspondiente de la hoja 2. Una segunda rotación por $2\pi$ para que $z \to e^{4\pi i} z$ sin embargo, nos devuelve al mismo punto. En tal superficie, $f(z)$ se convierte en una función totalmente bien definida ya que $z$ y $e^{2\pi i}z$ son puntos distintos.

Al menos para esta función y, en general, para $z^{\frac{1}{n}}$ Estas superficies de Riemann están muy bien dibujadas (como ayuda visual) en Wikipedia

La imagen es sencilla. Siempre que una función tenga cortes de rama, definimos la superficie de Riemann de forma que cuando te desplazas por el corte de rama, llegas a una hoja diferente. Cuando se llega al mismo corte de rama en la segunda hoja, se vuelve a la primera hoja.

Ahora, describamos el procedimiento análogo para la función $$ f(z) = \sqrt{ ( z - 1 )(z+1)( z - \tau ) (z+\tau) } $$ Aquí hay un dibujo que espero que explique la estructura. Creo que es más difícil de explicar con palabras.

Permítanme explicar un poco aquí. El primer dibujo de la estructura de corte de la rama de esta función en $\mathbb C$ . En el segundo dibujo defino una superficie de Riemann de 2 hojas como se muestra. Las flechas azules y blancas indican cómo hay que pasar por las láminas al pasar por los cortes de las ramas. En el tercer dibujo simplemente he colocado las dos hojas una encima de la otra para que la estructura sea clara. En el último paso, he añadido los puntos en el infinito para ambas hojas. Al hacerlo, el plano complejo se compacta en la esfera, ¡dejando atrás el toro!

Así se puede entender un toro como la superficie de Riemann correspondiente a la función $f(z) = \sqrt{ ( z^2 - 1 )( z^2 - \tau^2 ) } $ . Observe que lo único importante aquí es la estructura de corte de rama de la función compleja. La función que has escrito también tiene la misma estructura de corte de rama una vez que se incluye el punto en el infinito (lo que hicimos al describir el toroide de todos modos). Esto se muestra claramente en el último dibujo de arriba.