Encuentre el valor de la constante$k$ que hace que esta función sea continua

Question

La función es $$h(x)=\begin{cases} \dfrac{4x^2+5x-6}{x+2} & \text{if %#%#%}, \\[6pt] 3x+k & \text{if %#%#%}. \\ \end{casos}$$

Después de factorizar la fracción yo me quedo con $x\neq-2$ al $x= -2$. Si multiplico $4x-3= -11$ y, a continuación, enchufe $x=-2$ en la ecuación resultante me he quedado con las $(x+2)(4x-3)$. Si me do $-2$ me he quedado con las $-24$ que no es ninguna de las opciones de respuesta.

Las opciones de respuesta para esta pregunta son

A. $4(-2)-3=3(-2)+k$

B. $k=-5$

C. $k=20$

D. $k=0$

Yo no estoy seguro de dónde me iré de aquí, así que cualquier útiles consejos sobre donde debería comenzar el próximo sería apreciada.

Answer 1

El valor correcto es$k=-5$ como lo ha encontrado.

Observando que, como$x \neq-2$, tienes $$f (x) = \ frac {4x ^ 2 +5x-6} {x +2} = \ frac {(4x-3) (x +2)} {x +2} = 4x-3$$ which is equal to $- 11$ as $x \ a -2$. On the other hand putting $x = -2$ in $3x + k$ gives $- 6 + k$ entonces necesitarás que $$-6 + k = -11$$ that is $k = -5$.

Answer 2

Usando la regla de l'Hospital en$\lim_{x\to -2}\frac{4x^2+5x-6}{x+2}$ obtenemos$\lim_{x\to -2}8x+5=-11$. Para ninguna de las opciones dadas, es posible que$f$ sea continuo ya que$-6+k \neq -11$ para$k\in\{0,2,4,20\}$.