Pregunta sobre el área de los triángulos

Question

Esta pregunta apareció en RMO, una olimpiada en la India. La resolví pero suponiendo que las líneas son paralelas, aunque no se nos da esta información en la pregunta.TThhiiss qquueessttiioonn ccaammee eenn RRMMOO,, uunn oollyymmppiiaaddoo eenn IInnddiiaa.. II ssoollvveedd iitt bbuutt wwiitth Ttthhhiees aaqssusTseuhusmimtpspit toiqinouo nenc s atttmhiheaoa tnti ntct hahRemeM e Ol l,iii nnnae ensRs M oaOalr,rye em a ppnpia aarordala lylilmlnepe lilI,a,n dt tihihaono. u u gIgIhnh d swiwoeael . va aerIrde e s inontolo tvtb e ugdgti i vivwetein nt b htut hthti ihswse i itianhnsf fsotou h mieipn nt a itstohshneue m tqpqhutuaeietsos tntti ihotoenhn .a. lti ntehse alrien epsa raarlel epla,r atlhloeulg,h twheo uagrhe wneo ta rgei vneoTnth itgshi ivqseu nei snttfhioio sni nic natfmhoee iiqnnu etRshMteOi TT,oqhh nuiia.essns tqqoiuuloeeynssm. ttpiiiooannd Tccihaanimm seeI nqiidunnie asRR.tMM iOOIo,, n s aaocnnla vmooeelld yy imminppt ii RaabMdduO t,ii nnwa inIIt nnhodd liityaahm..ep iIIaa sdsss oouillmnvp eetIddin odiinitt a t. bbh uuaIttt swwtoiihlttevhh e ldtti hhnieeet s aa bssaussrtuue mm wpppittatiirhooa nnlt lhtteehhl aa, s tthuhhomeeup gtllhiii onnwneee ss t ahaararretee ntppohaaterr aagllliillvneeeellns,, tatthrhhieoos uu pggiahhnr fawwolee l ieaanlrr ,eet htnnehoo ottqu ugggehiis vvtweeienno natt. rhheii ssn oiitnn ffgooi viiennn ttthhhei sqq uuieenssfttoii ooinnn. la pregunta.Esta pregunta vino en RMO, una olimpiada en la India. La resolví con la suposición de que las líneas son paralelas, aunque no se nos da esta información en la pregunta. La resolví con la suposición de que las líneas son paralelas, aunque no se nos da esta información en la pregunta.

En agudos $\triangle ABC$ , sea D el pie de la perpendicular de A sobre BC. Consideremos los puntos K, L, M sobre el segmento AD tales que AK= KL= LM= MD. Supongamos que la suma de las áreas de la región sombreada es igual a la suma de las áreas de las regiones no sombreadas en la siguiente imagen. Demuestra que BD= DC.

Tomado de Olimpiada Matemática Regional de la India 2014 Pregunta 1 de la Región 1

Por favor, ayuda, gracias. Esto no es una pregunta de tarea, solo digo.

Answer 1

Suponiendo que las líneas son paralelas a la base del triángulo.

Pongamos nombre a los segmentos de líneas horizontales de esta manera (perdona la mala visualización):

      A
   a     e
   b     f
   c     g
B  d  D  h  C

Suponiendo que las líneas son paralelas, y si llamamos a la longitud de $AK = x$ , el tamaño del área sombreada es:

$$ \frac{ax}{2} + \frac{(b+c)x}{2} + \frac{(e+f)x}{2} + \frac{(g+h)x}{2} = x\frac{a+b+c+e+f+g+h}{2} $$

y el tamaño del área no sombreada es:

$$ \frac{ex}{2} + \frac{(a+b)x}{2} + \frac{(c+d)x}{2} + \frac{(f+g)x}{2} = x\frac{a+b+c+d+e+f+g}{2} $$

Como la descripción dice que estas áreas son iguales, tenemos:

$$ x\frac{a+b+c+e+f+g+h}{2} = x\frac{a+b+c+d+e+f+g}{2} $$

$$ a+b+c+e+f+g+h = a+b+c+d+e+f+g $$

$$ h = d $$

Si no podemos hacer la suposición de líneas paralelas, entonces tengo que pensar más. Probablemente esa es la cuestión: demostrar que si las áreas sombreadas y no sombreadas son iguales, entonces las líneas son inevitablemente paralelas a la base, y por lo tanto $BC = BD$ .

Answer 2

No hay manera de demostrar que $\overline {BD}$ = $\overline {DC}$ sin suponer que las líneas en K, L y M son paralelas a $\overline {BC}$

Simplemente no hay suficiente información si decimos que las líneas K, L y M no son paralelas.

para Apoyar esta respuesta señalo el Foro en el sitio donde reside la pregunta.

Dividir la altitud de un triángulo en cuatro partes iguales

La etiqueta del Foro está marcada asumiendo que las líneas son paralelas incluso.

Yo diría que la suposición de que las líneas son paralelas es una suposición válida teniendo en cuenta toda la información disponible.

algunos mensajes del foro:

@Bunny da :P : ¿Se da que esos pequeños triángulos son similares? ¿O alguna información extra sobre esos pequeños triángulos?

Umm, sí, se da que esas líneas son paralelas (aunque eso no se decía explícitamente en el documento). :P

Answer 3

El OP ha subrayado que el problema no supone explícitamente que las líneas que pasan por $AD$ en $K$ , $L$ y $M$ son paralelos, así que esa es la única cuestión que trato en esta respuesta.

No creo que el resultado sea cierto si no se hace esa suposición. En particular, es posible crear un caso extremo en el que $B=D$ : Que la línea en $L$ sea perpendicular a $AD$ , pero inclinando las líneas en $K$ y $M$ para que cada región sombreada tenga un área igual a la región no sombreada que está justo debajo. (La línea de $K$ se inclinará hacia abajo para intersecar la perpendicular de $L$ exactamente en $AC$ , produciendo dos triángulos de igual área).

Añadido más tarde : Si considerar el caso extremo no es convincente, considere lo que ocurre si se recorta un poco el lado izquierdo del triángulo (isósceles) desplazándose a un punto $B'$ justo a la derecha de $B$ . Es fácil ver que esto recorta más región sombreada que no sombreada, creando un desequilibrio momentáneo con más área no sombreada que sombreada en lo que queda. Pero ahora, si se inclina cualquiera de las tres líneas por $K$ , $L$ o $M$ a un ángulo apropiado (ligero), puede claramente restaurar el equilibrio. Así que, a menos que hagas alguna suposición sobre esas líneas (por ejemplo, que todas sean paralelas, o todas perpendiculares a $AD$ ), no se puede sacar la conclusión que requiere el problema.