Categoría con pullbacks pero no con ecualizadores

Question

¿Existe un ejemplo de una categoría con pullbacks pero sin igualadores (es decir, al menos un par de morfismos paralelos no tiene un igualador)?

Tal categoría no puede tener el objeto terminal, no puede tener productos binarios, deben existir morfismos $f, g$ tal que no existe un límite superior $u$ tal que $u \circ f = u \circ g$ , como se muestra aquí .

Si es posible, el ejemplo no debería construirse con este fin.

Answer 1

Dejemos que $G$ sea un grupo no trivial. Hay una forma estándar de considerar $G$ como una categoría con un objeto, donde $G$ es el conjunto de morfismos, y la composición viene dada por la operación de grupo.

Dejemos que $g,h\in G$ con $g\neq h$ . Entonces $g$ y $h$ no tienen ecualizador, ya que no hay ningún elemento $x\in G$ con $gx=hx$ .

Pero el retroceso de $(g,h)$ existe, dado por el par de elementos/morfismos $(g^{-1},h^{-1})$ .

Answer 2

Si $S$ es un conjunto, la categoría discreta $Disc(S)$ tiene todos los retrocesos. Si la cardinalidad de $S$ no es $1$ entonces $Disc(S)$ no tiene un objeto terminal.