Longitud de arco bajo cambio de parámetro

Question

Esto es de Apostol del Cálculo Vol. I, Sección 14.13 #21:

Deje $C$ ser una curva definida por dos funciones equivalentes $X$ $Y$ donde$Y(t)=X[u(t)]$$c\le t\le d$. Si la función de $u$, lo que define un cambio de parámetro tiene un continuo derivado en $[c,d]$ demostrar que

$$\int_{u(c)}^{u(d)} \! ||X'(u)||\,\mathrm du=\int_c^d \! ||Y'(t)||\, \mathrm d t$$ y deducir que la longitud del arco de $C$ es invariante bajo un cambio de parámetro.

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Yo creo que la condición se coloca sobre la derivada de $u$ no debería haber sido la continuidad, pero en lugar de no negatividad. Primero un contra-ejemplo: $$Y(t)=t\boldsymbol i\,,\quad X(t)=-t\boldsymbol i \, , \quad u(t)=-t\,.$$ A continuación, $Y(t)=X[u(t)]$ más de, digamos, $0\le t\le 1$ $u'(t)=-1$ es, sin duda continua. Ahora $||X'(t)||=1$ $||Y'(t)||=1$ pero $$\int_{u(0)}^{u(1)} \! ||X'(u)||\,\mathrm du=\int_0^{-1}\!\mathrm d u=-1$$ y $$\int_0^1 \! ||Y'(t)||\,\mathrm dt=\int_0^1\!\mathrm d t=1\,.$$

Por otro lado, si nos requieren $u'(t)\ge0$ (y no creo que aún necesitan continuidad, ¿no?) entonces podemos escribir

$$\begin{align}Y'(t)&=X'[u(t)]u'(t)\\ ||Y'(t)||&=||X'[u(t)]u'(t)||\\ &=||X'[u(t)]||\cdot |u'(t)|\\ &=||X'[u(t)]||u'(t)\\ \implies\int_c^d\!||Y'(t)||\,\mathrm d t&=\int_c^d \!||X'[u(t)]||u'(t)\,\mathrm d t\\ &=\int_{u(c)}^{u(d)}\!||X'(u)||\,\mathrm d u \end{align}$$

Es esto correcto? Debe la condición en $u'$ ser de no negatividad, en lugar de la continuidad, o necesito de no negatividad además de la continuidad? Yo no veo nada en mi prueba en el extremo que requiere de continuidad, pero tal vez estoy glosa sobre ella.

Answer 1

Tienes razón; sin la suposición de que $u'(t) \geq 0$ la fórmula indicada no funciona (aunque, como usted probablemente sabe, si $u'(t) &lt 0$ todos los $t$, la peor que puede pasar es que, a izquierda y derecha tienen signo opuesto).

Usted puede comprobar, sin embargo, si el autor da una definición técnica de la noción de "equivalencia", insinúa en el uso del término "equivalente", las funciones (o tal vez una definición técnica del término "cambio de parámetro" en la discusión del cambio de variable de la fórmula) que incorpora una hipótesis como esta. Es muy posible, ya que sin duda elimina el molesto tecnicismos de la discusión sobre el comportamiento de las integrales definidas en virtud de un "cambio de parámetro".

Por supuesto, también es muy posible que esta solo es una pifia. Este es el tipo de cosas que un montón de libros de deslizamiento, o al menos pasar por alto sin mucha discusión.

Usted está también a la derecha que el supuesto de la continuidad de la $u'$ es más fuerte de lo necesario. Su único propósito es asegurarse de que el "cambio de variable" fórmula utilizada en el cálculo de la integral definida, se justifica. Dado que esta fórmula tiene más generalmente, el resultado podría ser dicho de forma más general (por ejemplo, obviamente trozos de continuidad también sería suficiente).

Me gustaría ver esto como no esenciales detalle, sin embargo. Seguramente fue intencional. La tarea de encontrar (o incluso sólo indica) la mayoría de los supuestos, o incluso no-obviamente-demasiado restrictivo de los supuestos, en virtud de la cual las herramientas de cálculo como el teorema fundamental del cálculo, el cambio de variable de la fórmula de integración por partes, etc aplicar, rápidamente toma uno de la materia de cálculo. La integral de Riemann no es lo suficientemente bueno y simple combinaciones de hipótesis como "continuo" y "diferenciable" no son lo suficientemente buenas. Y las funciones que se incluyen en el cálculo de los libros que cumplen con estas hipótesis generales son siempre continuo o seccionalmente continua.