Aplicaciones del teorema de extensión de Tietze

Question

Estoy buscando algunas buenas aplicaciones del teorema de extensión de Tietze, en cualquier área de las matemáticas. ¿Puedes nombrar algunas (y posiblemente dar referencias) para mí?

Gracias de antemano.

Answer 1

Una aplicación que me gusta especialmente, de un problema de examen de análisis de licenciatura:

Teorema: Un espacio métrico $X$ es compacta si y sólo si toda función continua de valor real sobre $X$ está acotado.

Prueba: Asumir primero $X$ es compacto. Si $f:X\to \mathbb R$ es continua e ilimitada, entonces tenemos alguna secuencia $(x_n)$ en $X$ tal que $f(x_n)>n,\forall n\in\mathbb N$ . Desde $X$ es compacto, tenemos alguna subsecuencia convergente $(x_{n_k})$ Así que $\lim\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(\lim\limits_{k\to\infty}x_{n_k})$ . Pero esto es imposible, ya que $f(x_{n_k})\to\infty$ por lo que cualquier función continua de valor real está acotada. Si en cambio $X$ no es compacto, entonces tenemos alguna secuencia $(x_n)$ en $X$ que no tiene subsecuencia convergente. Por lo tanto, toda secuencia convergente con términos en el conjunto $S=\{x_1,x_2,\ldots\}$ debe ser finalmente constante, por lo que tiene límite en $S$ Por lo tanto $S$ está cerrado. Definir la función $f:S\to \mathbb R$ por $f(x_n)=n$ que es continua porque $S$ es un conjunto discreto. Por la Teorema de la extensión de Tietze podemos ampliar $f$ a una función continua no limitada $g:X\to\mathbb R$ .

Answer 2

No estoy seguro de si lo siguiente prueba funciona, pero utiliza el teorema de extensión de Tietze, entre otras cosas, para demostrar la densidad de $C_{0}(\mathbb{R})$ en $L^{1}$ .