Demuestre que$\eta - \omega \notin \mathbb{Q}$ donde$\omega$ y$\eta$ son dos raíces primitivas n-th diferentes$\in \mathbb{C}$

Question

Deje $n \in \mathbb{N}$ ser un número natural, y ser $\omega$ e $\eta$ dos diferentes n-ésimo de raíces primitivas en $\mathbb{C}$.

Demostrar que $\eta - \omega \notin \mathbb{Q}$

Mi intención era seguir la falsa línea de los siguientes :

Si me gustaría probar ese $\sqrt-2 - \sqrt-5 \notin \mathbb{Q}$, me gustaría probar algo por la contradicción como : $$\sqrt-2 - \sqrt-5 = \alpha, \alpha \in \mathbb{Q}$$

$$\sqrt-2 = \sqrt-5 + \alpha$$ $$ -2 = \alpha^{2} + 2\alpha\sqrt-5 -5$$

Pero, a continuación, $-2,\alpha^{2},-5 \in \mathbb{Q}$ lo que conduce a $\sqrt-5 \in \mathbb{Q}$,falso.

Así que aquí me gustaría volver a escribir $$\eta = \omega + \alpha , \alpha \in \mathbb{Q} $$

Y elevar a la n-ésima potencia de sothat $\eta \in \mathbb{Q}$, pero luego soy incapaz de encontrar alguna contradicción debido a las dificultades en ver los términos del binomio de newton $(\omega + \alpha )^{n}$.

Es este el enfoque correcto ?

Cualquier ayuda o sugerencia se agradece,

Muchas gracias

Answer 1

Debido a $|\eta|=|\omega|=1$ e $\eta\neq\omega$ tenemos $0<|\eta-\omega|\leq2$, y la conmutación de $\eta$ e $\omega$ si es necesario da, sin pérdida de generalidad, que $0<\eta-\omega\leq2$. Supongamos ahora que $\eta-\omega\in\Bbb{Q}$. Debido a $\eta$ e $\omega$ son parte integral de más de $\Bbb{Z}$, por lo que es $\eta-\omega$ y, por tanto, $\eta-\omega\in\Bbb{Z}$. Esto demuestra que $\eta-\omega\in\{1,2\}$.

Si $\eta-\omega=1$ entonces $\eta=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$ e $\omega=-\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i$, los dos $\pm$-signos de ser el mismo. Pero entonces uno es una primitiva de la tercera raíz de la unidad, mientras que el otro es un primitivo sexto de la raíz de la unidad, una contradicción.

Si $\eta-\omega=2$ entonces $\eta=1$ e $\omega=-1$, pero es una primitiva de la primera raíz de la unidad, mientras que la otra es una primitiva de la segunda raíz de la unidad, una contradicción.

Llegamos a la conclusión de que $\eta-\omega\notin\Bbb{Q}$.