anomalía en el análisis complejo elemental

Question

Para hacer

Dado que $\;\displaystyle w_1 \;=\; \left(2 + \sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 + \sqrt{2}}\right) - i\left(1 + \sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 - \sqrt{2}}\right)$ .
1. Derivar las dos raíces cuadradas de $w_1$ .
2. Ilustra el método general para derivar las raíces cuadradas de tal desordenado número complejo como $w_1.$

Contexto

En "An Introduction to Complex Function Theory", 1991, por Bruce Palka,
problema 4.14.(iii), p26 especifica : encontrar todas las raíces de
$\;z^4 + (-4+2i)z^2 - 1 = 0.$

De forma preliminar a este problema, se establece que :

(a) Arg( $z$ ) es el ángulo único $\;\alpha \in (-\pi,\pi]\;$ tal que $\;z = |z|\left[\cos(\alpha) + i\sin(\alpha)\right].$

(b) Tomar $\;\beta = (\alpha/2), \;\sqrt{z} \;=\; \pm \sqrt{|z|}\left[\cos(\beta) + i\sin(\beta)\right].$

(c) $\displaystyle \cos(\beta) \;=\; \sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}, \;\;\sin(\beta) \;=\; \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}.$

(d) $\;az^2 + bz + c = 0\;$ tendrá raíces $\displaystyle\;\frac{1}{2a}\left(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}\right).$

Mi Ataque de Problema (iii)

Mi primera aproximación fue :
1. Deja que $\;w = z^2,\;$
2. interpretar el problema (iii) como una ecuación cuadrática en $w$ .
3. utilizar los conceptos preliminares para derivar las dos soluciones $w_1$ y $w_2.$
4. tomar las dos raíces cuadradas de ambos $w_1$ y $w_2,\;$ a derivar las 4 raíces $\;z_1, z_2, z_3, z_4.$

Una de las raíces del problema (iii) interpretada como una ecuación cuadrática, $w_1,$ es como se identifica en el Para hacer al principio de la sección de esta consulta.

Sin embargo, después de identificar $w_1$ y la asignación de $\;\alpha \;=\; \text{Arg}(w_1), \;$ Yo estaba incapaz de calcular $\;\cos(\alpha)\;$ o $\;\sin(\alpha).\;$ Como los conceptos preliminares de Palka no parecían ayudar aquí, abandoné abandoné temporalmente este enfoque.

Mi segundo enfoque, que tuvo éxito, y fue probablemente el enfoque previsto , era :
1. factor $\;z^4 + (-4+2i)z^2 - 1 \;=\; (z^2 + 2z + i) \times (z^2 - 2z + i).$
2. resuelve cada una de las dos ecuaciones cuadráticas resultantes.

Resolviendo estas dos ecuaciones cuadráticas, generé cuatro raíces, una de las cuales era
$\displaystyle z_2 \;=\; \left(-1 - \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 + \sqrt{2}}\right) \;+\; i \, \left(\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 - \sqrt{2}}\right).$

Después de verificar manualmente que $z_2$ hizo satisfacer problema (iii), me di cuenta de que $\;(z_2)^2 = w_1,\;$ que proporcionó una verificación por separado de $z_2.$

Sin embargo, Creo que no debería haber abandonado el primer enfoque. I Creo que hay debe ser una forma de $\underline{\text{deriving}}$ que $z_2$ es una de las raíces cuadradas de $w_1.$

Mi enfoque tangencial

Mi segundo enfoque en el Mi Ataque de Problema (iii) de esta consulta
puede ser reinterpretado como un algoritmo tangencial para identificar las raíces cuadradas de $w_1.$ Esto significa que, dado cualquier desordenado complejo expresión $w$ se podrían identificar las raíces cuadradas de $w$ de la siguiente manera:

1. Identificar (por ejemplo) una ecuación de cuarto grado de la forma $\;[E]\;\;az^4 + bz^2 + c = 0.\;$

2. Interpretado como una ecuación cuadrática en $z^2,$ una de cuyas raíces es $w.$

3. Como en mi segundo enfoque en el Mi Ataque de Problema (iii) sección, $\;E,\;$ debe ser fácilmente factorizable en dos polinomios de 2º grado.

4. Además, cada uno de los dos polinomios debe ser fácilmente solucionable. Este significa que para cada polinomio, su expresión resultante $\;\sqrt{b^2 - 4ac},\;$ debe ser fácilmente computable. Esto significa que el seno y el coseno del Argumento principal correspondiente deben ser fácilmente calculables.

Nota: Dado que hay flexibilidad en la elección de cualquier ecuación $\;E,\;$ una de cuyas raíces es $w,$ es necesario que haya directrices para diseñando $\;E,\;$ por lo que es fácilmente factorizable en dos polinomios de 2º grado, cada uno de los cuales es fácilmente resoluble.

Mis preguntas relacionadas

Estoy fuera de mi alcance, y pedir respuestas a los matemáticos matemáticos profesionales.

1. Ignorando mi enfoque tangencial, ¿existe un método estándar para calcular las raíces cuadradas de un número complejo tan complicado como $w_1.$

2. ¿Es viable mi enfoque tangencial? ¿Es un método estándar? ¿Existen directrices para diseñar el correspondiente ayudante ecuación $\;E$ ?

Answer 1

No es una solución completa, sino una elaboración del enfoque de Palka. No hay que calcular $\alpha$ . Siguiendo a Palka, puedes usar lo siguiente:

$$ \;\displaystyle w_1 \;=\; \left(2 + \sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 + \sqrt{2}}\right) + i\left(-1 -\sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 - \sqrt{2}}\right) = \cal{{R}} + i \cal{{I}} $$ donde $\cal{{R}}, \cal{{I}}$ identificar las partes real e imaginaria de $w_1$ . Ahora tenemos las siguientes relaciones: $$|w_1|^2 = \cal{{R}}^2 + \cal{{I}}^2\\ w_1 = |w_1|(\cos \alpha + i \sin \alpha) = \cal{{R}} + i \cal{{I}}\\ \sqrt w_1 = \sqrt{|w_1|} (\cos \beta + i \sin \beta) = \sqrt{|w_1|} \left(\sqrt{\frac{1 + \cos(\alpha)}{2}}+ i \sqrt{\frac{1 - \cos(\alpha)}{2}}\right) = \\ = \sqrt{\frac{|w_1| + |w_1|\cos(\alpha)}{2}}+ i \sqrt{\frac{|w_1| - |w_1|\cos(\alpha)}{2}}\\ = \sqrt{\frac{\sqrt{\cal{{R}}^2 + \cal{{I}}^2} + \cal{{R}}}{2}}+ i \sqrt{\frac{\sqrt{\cal{{R}}^2 + \cal{{I}}^2} - \cal{{R}}}{2}} $$ Esto significa que puede poner directamente $\cal{{R}}, \cal{{I}}$ que se dan desde la tarea original.

En cuanto a la última pista de Palka, escribir dos raíces como $z_{1,2} = \frac{1}{2a}\left(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}\right)$ Ahora se puede escribir la última línea de arriba como

$$ \sqrt w_1 = \sqrt{\frac{\sqrt{\cal{{R}}^2 + \cal{{I}}^2} + \cal{{R}}}{2}}\pm \sqrt{\frac{-\sqrt{\cal{{R}}^2 + \cal{{I}}^2} + \cal{{R}}}{2}} $$

Así que los dos argumentos bajo las raíces son las dos soluciones de $\;az^2 + bz + c = 0\;$ al identificar $a= 1$ , $b = -\cal{{R}}$ , $c = - {\cal{{I}}^2}/4$ .

Así que $ \sqrt w_1 = \sqrt z_1 \pm \sqrt z_2 = \sqrt z_1 \pm i \sqrt{-z_2}$ que también da la estructura correcta en partes reales e imaginarias, ya que ambas $z_1$ y $-z_2$ será positivo.

Por supuesto, queda por poner en $\cal{{R}}$ y $\cal{{I}}$ y luego resolver la ecuación cuadrática y sigo pensando que esto se va a complicar y el uso de Wolframalpha o similares será útil. Sin embargo, el beneficio de este tratamiento es que te da directamente la estructura de la solución.

Answer 2

Me gustaría responder a la respuesta de Andreas. Creo que sería demasiado confuso añadir esta respuesta como una adición a mi pregunta original. Además, creo que mi respuesta será más legible como un responder en lugar de un comentario.

(1)
Parece que hay una errata: en la expresión matemática de Andreas que aparece justo debajo
"Ahora escribe la última línea de arriba como...".
Creo que el primer término de la derecha debería ser

$\displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt{\cal{R}^2 + \cal{I}^2} + \cal{R}}{2}}$

Andreas, si me equivoco, por favor, responde.

(2)
Interpretando la expresión inicial de Andreas para $\;\sqrt{w_1}\;$ como $\;\displaystyle \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{\cal{R}^2 + \cal{I}^2} + \cal{R}}{2}} \;+\; i\,\sqrt{\frac{\sqrt{\cal{R}^2 + \cal{I}^2} - \cal{R}}{2}} \right)\;,$
mi reacción es: que no es necesariamente exacta.

De hecho, con la $w_1$ como se especifica en mi consulta original, $\;\displaystyle \sqrt{w_1} \;=\; \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{\cal{R}^2 + \cal{I}^2} + \cal{R}}{2}} \;-\; i\,\sqrt{\frac{\sqrt{\cal{R}^2 + \cal{I}^2} - \cal{R}}{2}} \right)\;.$

Hasta donde yo sé, la única manera en general de determinar cuál de las dos expresiones es dos expresiones es exacta es dejar que $\beta$ Representar a $\;(1/2) \;\text{Arg}(w_1),\;$ y luego determinar si $\;\cos(\beta) < 0\;$ y también determinar si $\;\sin(\beta) < 0.$

(2) mea culpa
véase el comentario de Andreas a continuación responder . Aparentemente, interpreté mal su evaluación de $\cal{I}.$ De todos modos, el apartado original (2) [arriba] se deja como está, como referencia.

(3)
Como indicó Andreas, manualmente La aplicación de su enfoque (es decir, sin recurrir al CAS) podría no conducir a una clara expresión para $\;\sqrt{w_1}.$
Por ejemplo, utilizando los valores de $w_1$ y $z_2,$ de mi consulta original,
e interpretando que $\;w_1 = \cal{R} + i\cal{I},\;$ lleva a
$\displaystyle \cal{R} \;=\; 2 + \sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 + \sqrt{2}}, \;\; \cal{I} \;=\; -1 - \sqrt{\sqrt{2}}\sqrt{2 - \sqrt{2}}.$

No parece haber ninguna forma de utilizar su método para derivar manualmente que una de las raíces de $\;\sqrt{w_1}\;$ es $z_2.$

Contrasta esto con (como se indica en mi consulta) mi accidentalmente uso del método tangencial método tangencial, que condujo a la derivación manual directa de $z_2.$

(4)
Cuando $\;a=1, \;b=-\cal{R}, \;c=-\cal{I}^2/4,\;$ las dos raíces de
$\;az^2 + bz + c = 0\;$ será $\displaystyle \frac{1}{2} \left(\cal{R} \pm \sqrt{\cal{R}^2 + \cal{I}^2} \right),\;$ que no parece coincidir con su expresión.

Andreas, de nuevo, si me equivoco, por favor, responde.

(5)
Suponiendo que se identifica una ecuación cuadrática, una de cuyas raíces es $\;\sqrt{w_1},\;$ la otra raíz de esa ecuación cuadrática específica puede no ser $\;-\sqrt{w_1}.\;$ Suponiendo que ese sea el caso, entonces (a que yo sepa), tendrás que elevar al cuadrado las dos raíces de la ecuación cuadrática, y ver qué cuadrado coincide con $w_1.$

De hecho, la única ecuación cuadrática que tendrá las dos raíces de $\;\sqrt{w_1}, \;-\sqrt{w_1}\;$ será $z^2 - w_1 = 0.$

$\underline{\text{addendum-1}}$
Después de considerarlo, me he dado cuenta de que mi punto (2) anterior, aunque preciso, está algo mal considerado. Interpretación de $\;w_1$ como $\;\cal{R} + i\cal{I},\;$ ajuste $\;\alpha \;=\; \text{(the principle) Arg}(w_1),\;\text{\{i.e.}\; \alpha \,\in (-\pi,\pi]\}\;$ y el ajuste $\displaystyle \beta \;=\; \frac{\alpha}{2},\;$ entonces
(a) $\;\sin(\alpha)\;$ será negativo si $\cal{I}$ es negativo.
(b) $\;\sin(\beta)\;$ será negativo si $\;\sin(\alpha)\;$ es negativo.
(c) $\;\cos(\beta)\;$ siempre ser no negativo.

$\underline{\text{addendum-2}}$
A continuación, se explica la accidentalmente enfoque tangencial expresado en mi consulta original, para derivar manualmente las raíces cuadradas de a desordenado complejo $w.\;$ Es posible que haya otros enfoques (? más viables?).

Seleccione el complejo $b$ y $c$ para que todo se cumplan las siguientes condiciones.

1. Ecuación de la forma $E$ como $\;z^4 + bz^2 + c = 0.$

2. $w$ debe ser igual a $\displaystyle\;\frac{1}{2}\left(-b \pm \sqrt{b^2 - 4c}\right).$
   Aunque $\;\displaystyle \sqrt{b^2 - 4c}\;$ no tiene que ser fácilmente derivable manualmente, hay que ser capaz de confirmar fácilmente de forma manual que se cumpla la condición 2.

3. $E$ puede ser factorizado en $\;(z^2 + rz + s) \times (z^2 - rz + s)$
   donde $\;s^2 = c,\;$ y $\;(-r^2 + 2s) = b.$

4. $\sqrt{r^2 - 4s}\;$ debe ser fácilmente derivable manualmente.

No conozco ninguna directriz para elegir $b$ y $c$ para que se cumplan todas las condiciones anteriores.