¿Por qué el teorema de metrización de Urysohn es mucho más "popular" que el teorema de metrización de Nagata-Smirnov?

Question

El teorema de metrización de Urysohn es mucho más conocido que el Teorema de metrización de Nagata-Smirnov . Sin embargo, la primera sólo da una condición suficiente para la metrizabilidad, mientras que la segunda da una condición necesaria y suficiente.

Me imagino que dar una caracterización completa de cuándo un espacio topológico es metrizable debería ser un gran asunto, quizás algo que merezca una medalla fields incluso. Sin embargo, parece que la mayoría de la gente no piensa así, por lo que este resultado no es especialmente conocido.

¿Cuál es la razón de esto?

Answer 1

Históricamente, era un problema importante encontrar una caracterización puramente topológica de un espacio $X$ para ser metrisable, sin una referencia a un objeto externo como $\mathbb{R}$ . Urysohn fue uno de los primeros en trabajar en esto y demostró algunos teoremas importantes sobre la incrustación utilizando funciones continuas en espacios normales (lema de Urysohn). Así pudo caracterizar la separable espacios métricos como los que se pueden incrustar en $[0,1]^\mathbb{N}$ (utilizando las funciones de Urysohn y una base contable para reducir el número de dimensiones del cubo a contables). Pero el problema general seguía abierto. Pero el caso especial de Urysohn resultó ser ya útil para encontrar espacios metrisables en análisis, por ejemplo. Además, se puede demostrar fácilmente una vez que se han cubierto los espacios normales y el lema de Urysohn, por lo que aparece en muchos libros de texto.

Más tarde, en los años 40 y 50, se empezaron a estudiar las cubiertas abiertas y los refinamientos, se definió la paracompacidad y se demostró que era equivalente a ser "totalmente normal". Se demostró que los espacios métricos eran paracompactos de esa manera, pero también había muchos espacios no métricos paracompactos, por lo que se necesitaba un refuerzo de la paracompacidad, y se descubrió que esto era tener un $\sigma$ -Locales finitas base (que por los resultados conocidos en esa época implicaba inmediatamente la paracompacidad) y que luego se demostró que era equivalente a la metricidad tanto por Smirnov (en Rusia) como por Nagata (en Japón), independientemente el uno del otro. Alrededor de la misma época, Bing (en Estados Unidos) demuestra que tener un $\sigma$ -base discreta (más regular $T_0$ que también necesitamos en Nagata-Smirnov) también era necesario y suficiente y lo utilizó para demostrar que un espacio $X$ es metrizable si es un espacio Hausdorff regular desarrollable que es normal en cuanto a la colección (un espacio normal en cuanto a la colección Espacio Moore ). También se han encontrado otras caracterizaciones, utilizando la mayoría de las veces bases especiales. Pero la mayor parte de esa teoría, aunque interesante, es bastante extensa para cubrirla completamente en la mayoría de los cursos, (Munkres hace Nagata-Smirnov como un capítulo opcional, por ejemplo) y el problema era mostrar que la metricidad es "intrínsecamente caracterizable", no como un método práctico para descubrir espacios métricos, o probar que espacios concretos son metribles.

Se ha utilizado para caracterizar la metricidad en clases especiales de espacios, como los espacios ordenados (generalizados). Quizá merezca ser más conocido, como otros teoremas de metrisación, pero es demasiado "profundo" en los problemas de topología general, y no es tan práctico como el teorema de Urysohn, que tiene una condición más fácil de comprobar.

Answer 2

Creo que la razón para centrarse en el teorema de metrización de Urysohn es realmente el lema de Urysohn, que es extremadamente útil y ampliamente aplicable, y el teorema de metrización de Urysohn es sólo una aplicación fácil que uno podría demostrar de todos modos. Básicamente, el teorema de metrización de Nagata-Smirnov también utiliza el lema de Urysohn. La caracterización de los espacios métricos, aunque es interesante, es menos aplicable, y las nuevas ideas que se necesitaron son menos revolucionarias.

En realidad, la mayoría de los topólogos modernos se preocupan muy poco por los espacios extraños para los que necesitan teoremas de metrización para demostrar que son metrizables. Ciertamente, hay algunos que siguen estudiando estas áreas, pero la mayoría de los topólogos se centran en la topología algebraica, donde en el sentido de la topología general los espacios son "aburridos", por ejemplo, los espacios métricos compactos, muy a menudo los colectores.