Estoy tratando de practicar mi contorno de integración de habilidades y se interesó en la siguiente integral: $$\int_0^\infty \arctan(z) e^{-z^2}\,dz$$ Sé que la forma habitual de calcular las integrales en $[0,\infty)$ es usar el ojo de la cerradura-contorno, pero el problema en este caso es que $\arctan(z)$ tiene puntos de ramificación en $z=\pm i$, con cortes de ramas generalmente elegido en $[i,i\infty)$ e $[-i,-i\infty)$, que creo que significa que el ojo de la cerradura de contorno no funciona en este caso. He intentado un rectángulo de contorno compuesto de $C:[0,R]\cup [R+i/2] \cup [R+i/2,i/2] \cup [i/2,0]$ pero que no funcionó. Porque mi función es la de holomorphic en $\mathbb{C}\setminus [i,i\infty) \cap [-i,-i\infty)$ también no habría residuos para calcular, que no necesariamente tiene que ser un problema de Cauchy teorema podría ser utilizado para intentar y calcular la integral.
Si no me equivoco, me permitiría obtener somerhing como $\int_0^\infty f(x)-f(x+i/2)\,dx=0$. Una de las dificultades que me encontré es simplificar $f(z+i/2)$ (donde $f(z)=\arctan(x) e^{-z^2}$) en alguna otra forma, tales como $\alpha f(z)+\beta g(z)$ para algunos $g(z)$ cuyo integral puede ser calculada en $[0,\infty)$ e $\alpha, \beta\in\mathbb{C}$. Esto me deja luego resuelve $\int_0^\infty f(x)\,dx$.
También pensé que, si eso hace que sea más fácil, podríamos extender el rango de integración a $\mathbb{R}$, siempre y cuando hemos encontrado una función odd $q(a,x)$, de tal manera que $q(0,x)=1$ y calcular
$$\lim_{a\to 0} \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty q(a, x) \arctan(x)e^{-x^2}\,dx$$ Podríamos utilizar Cauchy/el teorema de los Residuos dependiendo de si $q(z)$ tiene polos o no. No he sido capaz de utilizar este enfoque.
Alguna idea?
