Thorem declara qué parte de una población está dentro de$n$ desviaciones estándar de la media

Question

En una estadística de la clase que tomé en la universidad, recuerdo que el aprendizaje acerca de un teorema que indica que $50\%$ de la población debe estar dentro de $1\sigma$ de $\mu$, $75\%$ dentro $2\sigma$, y así sucesivamente, independientemente de la distribución. La distribución puede ser más estricta, pero esto es una garantía.

La gente no parece estar familiarizados con esto, no estoy seguro de que me acordé de los números a la derecha, y no estoy seguro de que esto existe. Es esta cosa?

Answer 1

Sí, hay algo de verdad, y viene de Tschebychev la desigualdad. Se dice que $$P(|X-\mu|\le n\sigma)\ge 1-\frac1{n^2}.$$ Esto le da a la mencionada $0.75$ para $n=2$, pero el $0.5$ realidad parece si tomamos $n=\sqrt2=1.41\ldots$. No dice nada de $n=1$.

Esto es válido para cualquier distribución, siempre que tenga bien definida y finita media y una varianza finita/s.d. Para otras distribuciones de los valores exactos pueden ser determinados, los cuales son necesariamente igual o mayor (bastante más grande, para la mayoría de los habituales de las distribuciones) que los que se administran por este teorema.

Answer 2

Usted está pensando de la desigualdad de Chebyshev.

Para cualquier $k$, en cualquier distribución con una media y desviación estándar, la probabilidad de tener más de $k$ desviaciones estándar de distancia de la media no es más que $\frac1{k^2}$.

La mayoría de las distribuciones, por supuesto, son mucho más que esto; el teorema es el peor de los casos.