feliz Navidad a todos los usuarios!
Quiero llegar a $\mathbf H =\dfrac{\mathbf B}{\mu_0}-\mathbf M$ desde el principio de superposición, como algunos textos han hecho en la electrostática con $\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P$. En magnetostatic estoy atascado.
Por ejemplo, en la electrostática, por el principio de superposición, el potencial fuera de un polarizado cuerpo debe ser la suma de los potenciales debidos a la libre y unida cargos. Al aplicar el degradado es el resultado \begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla V=\boldsymbol\nabla V_\text{l}+\boldsymbol\nabla V_\text{p}&(1)\end{array}
El campo total será dada por el potencial eléctrica total (de nuevo, por el ppio de superposición), de modo que $\mathbf E=-\boldsymbol\nabla V$. Si aplicamos el degradado (con respecto a las coordenadas de $\mathbf r$) a \begin{equation} V_\text{p}\left(\mathbf r\right)=k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime} \end{equation}
vamos a obtener el campo eléctrico debido a la polarización: \begin{array}{rcl}\boldsymbol\nabla V_p&=&\boldsymbol\nabla\left(k_e \displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\hat{\mathbf R}}{R^2}\mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_e \displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\cdot\underbrace{\boldsymbol\nabla\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{4\pi\delta^3\left(\mathbf R\right)}\mathrm{d}\tau^{\prime}\\&=&\underbrace{4\pi k_e }_{1/\epsilon_0}\displaystyle\int_V\mathbf P\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf r-\mathbf r^{\prime}\right)\mathrm{d}\tau^{\prime}=\dfrac{\mathbf P\left(\mathbf r\right)}{\epsilon_0}\end{array}
Sustituyendo en la $(1)$ y multiplicando la ecuación por $\epsilon_0$resultados \begin{equation}\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P=-\epsilon_0\boldsymbol\nabla V_l\end{equation}
El miembro de la izquierda es generalmente abreviado por \begin{equation}\mathbf D=\epsilon_0\mathbf E+\mathbf P\end{equation} que hemos denominado vector de desplazamiento.
En magnetostatics no he visto en los libros que hacen que de esta manera, si no por la adición de las corrientes de magnetización y libre. Aunque esto sirve me gustaría hacerlo por el principio de superposición y yo quisiera hacer lo mismo:
A partir de \begin{array}\mathbf A_\text{m}\left(\mathbf r\right)=k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime},&(2)\end{array} por el principio de superposición, el vector de potencial en el exterior de un cuerpo magnetizado debe ser la suma de los vectores potenciales debido a libre de corrientes y de la magnetización. Al aplicar el rizo obtenemos \begin{array}{cl}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}+\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}&(3)\end{array}
El total del campo magnético será el resultado de aplicar el rizo del vector potencial (sup. pple. una vez más), por lo que $\mathbf B=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A$. Si aplicamos el rizo (con respecto a las coordenadas de $\mathbf r$) $(2)$ vamos a obtener el campo magnético debido a la magnetización del material: \begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=\boldsymbol\nabla\wedge\left(k_m\displaystyle\int_V\dfrac{\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\hat{\mathbf R}}{R^2}\ \mathrm{d}\tau^{\prime}\right)=k_m\displaystyle\int_V\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)\ \mathrm{d}\tau^{\prime}.\end{equation} Ampliar el integrando: \begin{equation}\boldsymbol\nabla\wedge\left(\mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\wedge\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=\underbrace{\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}}_{(\text{a})} -\underbrace{\left(\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\cdot\boldsymbol\nabla\right)\mathbf M}_{(\text{b})}+\underbrace{\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\left(\boldsymbol\nabla\cdot\mathbf M\right)}_{(\text{c})}-\underbrace{\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)}_{(\text{d})}\end{equation}
Todo lo que se deriva del vector de magnetización es nulo, ya que sólo depende de $\mathbf r^{\prime}$, lo $(\text{b})$ e $(\text{c})$ se cancela. El término $(\text{d})$ es el que le interese: \begin{equation}k_m\mathbf M\left(\boldsymbol\nabla\cdot\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}\right)=4\pi k_m \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)=\mu_0 \mathbf M\left(\mathbf r^{\prime}\right)\delta^3\left(\mathbf R\right)\end{equation}
Pensé que el término $(\text{a})$ sería cancelado, pero no me dan null: \begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\frac{\partial }{\partial x_i}\displaystyle\sum_{j=1}^3\frac{R_j}{R^3}\mathbf e_j=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3M_i\mathbf e_j\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{R_j}{R^3}\right)\\&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\frac{\partial R_j}{\partial x_i}-R_j\frac{\partial R^3}{\partial x_i}\right]\end{array}
Por separado (Con $\mathbf R=\mathbf r-\mathbf r^\prime=R_1\hat{\mathbf e}_1+R_2\hat{\mathbf e}_2+R_3\hat{\mathbf e}_3$ e $R_i=x_i-x_i^\prime$): \begin{array}{rcl}\dfrac{\partial R_j}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial x_j}{\partial x_i}=\delta_{ij}\\\dfrac{\partial R^3}{\partial x_i}&=&\dfrac{\partial R^3}{\partial R}\dfrac{\partial R}{\partial x_i}=3R^2\cdot\dfrac{R_i}{R}=3RR_i\end{array} Sustituyendo: \begin{array}{rcl}\left(\mathbf M\cdot\boldsymbol\nabla\right)\dfrac{\hat{\mathbf R}}{R^2}&=&\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}\left[R^3\delta_{ij}-R_j3RR_i\right]=\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R^3\delta_{ij}-\displaystyle\sum_{i,j=1}^3\dfrac{M_i\mathbf e_j}{R^6}R_j3RR_i\\&=&\dfrac{1}{R^3}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_i\mathbf e_i-\dfrac{3}{R^5}\displaystyle\sum_{i=1}^3M_iR_i\displaystyle\sum_{j=1}^3R_j\mathbf e_j=\dfrac{\mathbf M}{R^3}-\dfrac{3}{R^5}\left(\mathbf M\cdot\mathbf R\right)\mathbf R\\&=&\dfrac{1}{R^3}\left[\mathbf M-3\left(\mathbf M\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}\right]\end{array}
La sustitución de arriba y la integración (teniendo en cuenta que $\mathbf m=\int_V\mathbf M\ \mathrm{d}\tau^\prime$) puedo obtener:
\begin{equation}\mathbf B_\text{m}=-\dfrac{k_m}{R^3}\left[3\left(\mathbf m\cdot\hat{\mathbf R}\right)\hat{\mathbf R}-\mathbf m\right]-\mu_0\mathbf M \end{equation} El primer término coincide con el campo magnético de un dipolo magnético. No entiendo la razón por la que está allí, en la electrostática no tenemos el campo eléctrico de un dipolo eléctrico.
Si $(\text{a})$ era nula, ésta sólo integrar el plazo $(\text{d})$ y obtener un $\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{m}=-\mu_0\mathbf M\left(\mathbf r\right)$, por lo que sustituyendo en $(3)$ serían $\mathbf B+\mu_0\mathbf M=\boldsymbol\nabla\wedge\mathbf A_\text{l}$. Pero me haría falta un signo de menos allí, así que sería $\mu_0\mathbf H$. Sí, soy uno de los sutck.
Bueno, la vida es dura y yo no se que, ¿alguien ve el error?
PS: el Que lo hizo, gracias por leer este tedioso discurso ;).
