Delta Epsilon Prueba de $ \lim_ {x \to\infty } \frac { \ln {x}^2}{x}=0$

Question

Estoy tratando de probar que $ \lim_ {x \to\infty } \frac { \ln {x}^2}{x}=0$ a través de la definición del delta épsilon de un límite, pero sigo colgado.

He empezado la prueba así:

$ \forall \epsilon >0, \exists \delta $ así que si $ \delta >0$ , $| \frac { \ln {x}^2}{x}-0|< \epsilon $ .

Si suponemos que $| \frac { \ln {x}^2}{x}-0|< \epsilon $ y resolvemos por x obtenemos...

Cuando intento resolver la desigualdad para $x$ se sigue cancelando.

Lo que he intentado:

$2x^{-1} \ln {x}< \ln { \epsilon }$

Que se convierte:

$2x^{-1}(x^1)<e^{ \ln { \epsilon }}$

Pero entonces, $x^{-1}$ y $x^1$ se multiplican a $x^0$ que es $1$ y $x$ se elimina del problema.

¿Algún consejo sobre cómo proceder? Sé que el límite es $0$ Parece que no puedo pasar de la resolución de $x$ .

Gracias.

Answer 1

$\ln x<2\sqrt{x}$ así que $$\left|\dfrac{\ln x^2}{x}\right|<\dfrac{4}{\sqrt{x}}<\dfrac{4}{\sqrt{M}}\leq\varepsilon$$ donde $x>M$ .

Answer 2

... He comenzado la prueba así:

$\forall \epsilon>0, \exists \delta$ por lo que si $\delta>0$ , $|\frac{\ln{x}^2}{x}-0|<\epsilon$ .

El $\delta$ en su intento no tiene nada que ver con $\epsilon$ .

Por definición , dado $\epsilon>0$ , tienes que demostrar que existe $M>0$ tal que $$ x>M \quad \textbf{implies }\quad |\frac{2\ln x}{x}|<\epsilon\tag{1} $$

Ahora para $x>1$ , $$ \ln x=\int_1^x\frac{1}{t}\ dt\leq \int_1^x\frac{1}{\sqrt{t}}\ dt=2\sqrt{t}\big|_1^x < 2\sqrt{x}, $$ lo que implica que $$ \frac{2\ln x}{x}<\frac{4\sqrt{x}}{x}=\frac{4}{\sqrt{x}},\quad x>1. $$ Así que quieres $ \frac{4}{\sqrt{x}}<\epsilon, $ que es verdadera si $$ x>(4/\epsilon)^2. $$ Ahora, el ajuste $M=(4/\epsilon)^2$ , tienes la implicación (1).