Si $a,b\in R$ son números distintos que cumplen $|a-1|+|b-1|=|a|+|b|=|a+1|+|b+1|$ encuentre el valor mínimo de $|a-b|$

Question

Si $a,b\in R$ son números distintos que cumplen $|a-1|+|b-1|=|a|+|b|=|a+1|+|b+1|$ encuentre el valor mínimo de $|a-b|$

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He cuadrado ambos lados de $|a-1|+|b-1|=|a|+|b|$ y $|a|+|b|=|a+1|+|b+1|$ y las he igualado, pero la ecuación obtenida es confusa y estoy atascado.

Answer 1

Revisa los casos. W.l.o.g. dejar $a \ge b$ .

1. $a>1$ y $b>1$ da $a+b-2= a+b =a+b+2$ lo cual es imposible.

2. $a<-1$ y $b<-1$ igual que en el caso 1

3. $a>1$ y $1>b>0$ da $a-b= a+b =a+b+2$ lo cual es imposible.

4. $a>1$ y $0>b>-1$ da $a-b= a-b =a+b+2$ lo cual es imposible.

5. $a\ge1$ y $-1\ge b$ da $a-b= a-b =a-b$ que es el primer caso posible. En efecto, todos los números que cumplen esta condición son posibles, por lo que el valor mínimo es $|a-b| = 2$ .

Los demás casos vuelven a ser imposibles.

Answer 2

En primer lugar vamos a restringir los posibles valores que $a$ y $b$ puede tomar realmente.

• Si $a$ y $b$ son estrictamente positivos, entonces $$a+b+2=|a+1|+|b+1|=|a|+|b|=a+b $$ nunca está satisfecho. Del mismo modo, si $a$ y $b$ son estrictamente negativos, $$|a-1|+|b-1|=|a|+|b|$$ falla.

• También es fácil comprobar que $a=0$ o $b=0$ no funcionan.

• Por último, tenga en cuenta que sus condiciones siguen siendo las mismas si cambia de signo a $a$ y $b$ al mismo tiempo.

Por todas las razones anteriores, supondremos $a>0$ y $b<0$ . Podemos restringir aún más los posibles valores que $a$ y $b$ puede tomar. Tenemos $$a-b = |a|+|b| = |a-1|+|b-1| = |a-1| -b+1,$$ desde $b-1$ es negativo. Pero esto implica $$|a-1| = a-1,$$ lo que significa $a \ge 1$ .

Del mismo modo, desde $$a-b = |a|+|b| = |a+1|+|b+1| = a+1 +|b+1|$$ obtenemos $b \le -1$ .

De este modo, por fin podemos resolver su problema, ya que $$|a-b| = a-b$$ toma el valor mínimo $2$ como $a$ no puede ser menor que $1$ y $b$ no puede ser mayor que $-1$ .

Answer 3

Considere la $16$ casos:

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$$\begin{align}1) \ &a,b\ge 1 \Rightarrow \\ & \ \ \ \ \ a-1+b-1=a+b=a+1+b+1 \Rightarrow \emptyset;\\ 2) \ &0\le a\le 1, b\ge 1 \Rightarrow \\ & \ \ \ \ \ -a+1+b-1=a+b=a+1+b+1 \Rightarrow \emptyset;\\ 3) \ &-1\le a\le 0, b\ge 1 \Rightarrow \\ & \ \ \ \ \ -a+1+b-1=-a+b=a+1+b+1 \Rightarrow \\ & \ \ \ \ \ a=-1 \Rightarrow b=1 \Rightarrow (a,b)=(-1,1) \Rightarrow \\ & \ \ \ \ \ |a-b|=2 \ \text{(min)};\\ 4, 7, 8) \ &(a,b)=(-1,1);\\ 5, 6, 11, 12,15,16) \ &\emptyset;\\ 9,10,13,14) \ &(a,b)=(1,-1). \end{align}$$

Answer 4

Sea $r=\lvert a-1\rvert+\lvert b-1\rvert=\lvert a\rvert+\lvert b\rvert=\lvert a+1\rvert+\lvert b+1\rvert$ . Entonces $(a,b)$ pertenece a tres cuadrados simultáneamente:

• el cuadrado cuyos vértices son $(\pm r,0)$ y $(0,\pm r)$ ;
• el cuadrado cuyos vértices son $\bigl(\pm(r+1),0\bigr)$ y $\bigl(0,\pm(r+1)\bigr)$ ;
• el cuadrado cuyos vértices son $\bigl(\pm(r-1),0\bigr)$ y $\bigl(0,\pm(r-1)\bigr)$ .

Estas casillas (cuando $r=\frac32$ ) puede verse aquí:

Ahora es fácil ver geométricamente que cuando $r<2$ (como en la imagen) no hay ningún punto que pertenezca a los tres cuadrados y que cuando $r=2$ habrá dos (y sólo dos) puntos distintos pertenecientes a los tres cuadrados: $\pm(1,-1)$ . Por lo tanto, si $(a,b)=\pm(1,-1)$ entonces $(a,b)$ pertenece a todos ellos y $\lvert a-b\rvert=2$ . Si $r>2$ entonces hay otras soluciones $(a,b)$ , bu $\lvert a-b\rvert>2$ entonces. Entonces, la respuesta es $2$ .