Sobre un tipo especial de secuencia en un espacio métrico completo

Question

Dejemos que $\{x_n\}$ sea una secuencia en un espacio métrico completo $X$ tal que para toda función uniformemente continua $f:X \to \mathbb R$ la secuencia $\{f(x_n)\}$ es convergente en $\mathbb R$ . Entonces, ¿es cierto que $\{x_n\}$ ¿es convergente?

Mi intento: Si $\{x_n\}$ tiene una subsecuencia convergente, entonces $\{x_n\}$ converge. En efecto, si $\{x_{k_n}\}$ es una subsecuencia convergente con límite $y\in X$ entonces, como la función $ f: X \to \mathbb R $ definido como $f(x)=d(x,y), \forall x\in X$ es uniformemente continua, por lo que $\lim f(x_n)=\lim d(x_n,y)$ existe, pero como $\lim d(x_{k_n},y)=0$ Así que $\lim d(x_n,y)=0$ Por lo tanto $\{x_n\}$ converge a $y$ .

Lamentablemente, no puedo decidir si $\{x_n\} $ tiene un convergente (o para el caso, sólo Cauchy, ya que $X$ es completa) subsecuente o no.

Answer 1

Definamos $a_n = \lim_{m\to \infty} d(x_n, x_m)$ . Como la distancia es uniformemente continua, cada una de las $a_n$ existe. Finalmente todos los puntos están contenidos en una bola de radio $a_1+\epsilon$ sobre $x_1$ . Esto implica que el $a_n$ están eventualmente acotados por encima de $2(a_1+\epsilon)$ por lo que, según Bolzano-Weierstrass, debe converger a algún número no negativo $z$ . Si $z$ es igual a $0$ podemos demostrar que el $x_n$ son Cauchy. En caso contrario, si $z>0$ entonces existe $k_0$ para que $a_k, k \geq k_0$ está dentro de $\frac{z}{2}$ de $z$ .

Desde $a_{k_0} = \lim_{m\to \infty} d(x_{k_0}, x_m) \in (\frac{z}{2},\frac{3z}{2})$ Ahora podemos elegir $k_1 > k_0$ para que $d(x_{k_0},x_{k_1}) \in (\frac{z}{2},\frac{3z}{2})$ . Continúe este proceso de forma inductiva, eligiendo en cada paso un $k_j$ para que $x_{k_j}$ es al menos $\frac{z}{2}$ de entre todos los elegidos previamente $x_{k_i}$ . Esto nos da una subcolección contable de la $\{x_i\}$ que son mutuamente al menos $\frac{z}{2}$ distancia entre ellos.

Podemos construir una función uniformemente continua $f$ igual a $1$ en $x_{k_i}$ para incluso $i$ y $0$ en $x_{k_i}$ para impar $i$ . Esto se debe a que todos los $x_{k_i}$ están convenientemente espaciados (a modo de esquema, podemos definir $f$ igual a $1$ en la bola de radio $\frac{z}{4}$ sobre $x_{k_i}$ para incluso $i$ y tienen $f$ disminuyen a cero de forma controlada en el momento en que llegamos al límite del radio $\frac{z}{2}$ balón sobre $x_{k_i}$ ). Este $f$ es igual a $0$ y $1$ infinitamente a menudo, contradiciendo el hecho de que $z>0$ . Así que $z=0$ y podemos elegir alguna subsecuencia convergente entre las $x_n$ .

Answer 2

Si la métrica $d$ está completo o no, si $Y$ es un subconjunto no vacío de $X$ entonces $d(x,Y)=\inf \{d(x,y):y\in Y\}$ es uniformemente continua. Si $\{x_n\}$ no es una secuencia de Cauchy, entonces existe un par disjunto $A, B$ de subconjuntos infinitos de $\Bbb N$ tal que $\inf \{d(a,b): a\in A\land b\in B\}>0.$ Así que dejemos $f(x)=d(x, \{x_n:n\in A\})$ . Entonces $f(x_n)=0$ cuando $n\in A$ pero $\inf \{f(x_n):n\in B\}>0$ así que $\{f(x_n)\}$ no es convergente.