Calcula

Question

¿Cómo puedo calcular el siguiente límite? $$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac {\ dfrac {n} {1} + \ dfrac {n-1} {2} + \ dots + \ dfrac {2} {n-1} + \ dfrac { 1} {n}} {\ ln (n!)} $$

He intentado muchos métodos, no puedo obtener la respuesta. Aunque creo que el límite es $0$ , no sé cómo explicarlo. Por favor, si alguien pudiera ayudarme sería fantástico.

Answer 1

Deje $H_n:= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

$\ln(n!)\sim n(\ln(n)-1)$ por la fórmula de Stirling.

Como para el numerador, es $nH_n-\frac{1}{2}-\frac{2}{3}-\cdots-\frac{n-1}{n}= nH_n-(n-1)+H_n-1$.

Hay muy fuerte estimaciones de $H_n$, por ejemplo, $H_n= \ln(n)+\gamma+O(\frac{1}{n})$.

Poniendo todo esto junto con los rendimientos que el límite es de $1$, incluso se puede obtener un buen término de error, que la secuencia es, en realidad, $1+O(\frac{1}{\ln(n)})$.

Answer 2

Podemos aplicar Stolz-Cesaro tomando $a_n=(n+1)H_n-n$ y $b_n=\ln(n!)$ : $$l=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{(n+2)H_{n+1}-(n+1)-(n+1)H_n +n}{\ln((n+1)!)-\ln(n!)}=\lim_{n\to \infty} \frac{H_{n+1}}{\ln(n+1)}$ $ Y como $H_n \approx \ln n+\gamma +O\left(\frac1n\right)$ obtenemos fácilmente: $$l=\lim_{n\to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=1\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=1$ $