Deje que$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sea aproximado arbitrariamente bien por polinomios de grado acotado. Probar$f$ es un polinomio.

Question

Estoy tratando de demostrar que si una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ se puede aproximar arbitrariamente bien por polinomios de limitada grado, a continuación, $f$ sí debe ser un polinomio.

Para empezar, vamos a $\{ g_m \mid g_m : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}_{m=1}^\infty$ ser una secuencia de polinomios con grado en la mayoría de las $d$ que converge uniformemente a $f$. Y dejar que los coeficientes de las $m$'th approximator ser $a_{mn}$ , de modo que $$ g_m(x) = \sum_{n=0}^d a_{mn} \, x^n. $$

Por "convergencia uniforme", me refiero a que, dada $\epsilon > 0$, existe un $M_\epsilon$ tal que para todos los $m \ge M_\epsilon$ tenemos $$ \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - g_m(x)| < \epsilon. $$

Claramente, lo que demuestra la afirmación es equivalente a probar que para cada una de las $n$ entre 0 y $d$, la secuencia de coeficientes de $a_{1n}, a_{2n}, \ldots$ converge a un cierto valor límite $a_n^*$.

Sin embargo, no es claro para mí cómo comprobar esta afirmación. Cualquier sugerencias o de orientación es muy apreciado.

Answer 1

Para cada una de las $n$ usted puede encontrar algunos de los $$P_n(x)=a_d^nx^d+...+a_1^nx+a_0^n$$ tal que $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - P_n(x)| < \frac{1}{n}$$

A continuación, para cada una de las $n,m$ tiene $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |P_m(x) - P_n(x)| \leq \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - P_n(x)| +\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - P_m(x)| < \frac{1}{n}+ \frac{1}{m}$$

Esto demuestra que $P_m(x)-P_n(x)$ es un polinomio que está delimitada en $\mathbb R$ y, por tanto, una constante. Por lo tanto, existe cierta polinomio $P(x)$ y algunos $c_n \in \mathbb R$ tales que $$P_n(x)=P(x)+c_n$$

Por lo anterior, usted consigue $$\left| c_n -c_m \right| =\sup_{x \in \mathbb{R}} |P_m(x) - P_n(x)| < \frac{1}{n}+ \frac{1}{m} $$

Por lo tanto, $c_n$ es de Cauchy y por lo tanto convergente a algunos $c$.

Pretendemos que $f(x)=P(x)+c$.

Deje $\epsilon >0$. Recoger algunas $N$ tal que, para todos los $n >N$ hemos $$\frac{1}{n} < \frac{\epsilon}{2}\\ |c_n-c|< \frac{\epsilon}{2}$$

Deje $n >N$ ser fijo, pero arbitrario. Entonces $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - P(x)| \leq \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - P_n(x)| +\sup_{x \in \mathbb{R}} |P_n(x) - P(x)| < \frac{1}{n}+ |c_n-c| <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

Esto demuestra que $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - P(x)| < \epsilon$$ para todos los $\epsilon >0$.

Answer 2

Primero, escoja un polinomio $g(x)$ para $\varepsilon = 1$, es decir, $\sup\limits_{x\in \mathbb{R}}|f(x)-g(x)|< 1$. Deje $h(x)= f(x)-g(x)$. A continuación, la misma condición que tiene para $h(x)$: Para obtener una aproximación con un error de $\varepsilon$, encontrar uno por $f(x)$ y restar $g(x)$.

Por lo que es suficiente para comprobar que la afirmación de que para delimitadas las funciones. Pero eso es trivial: una limitada función con esta propiedad debe ser constante. Prueba indirecta: si hubiera dos valores diferentes (digamos en puntos de $x,y$), deje $\delta=|h(x)-h(y)|$, y poner $\varepsilon:=\delta/3$. La aproximación polinómica debe ser constante (de lo contrario tenemos un problema con el límite en el infinito), pero no constante es lo suficientemente cerca tanto $x$ e $y$. Por lo tanto, $h(x)$ es una constante y, a continuación, $f(x)= g(x)+h(x)$ es un polinomio.

Answer 3

Desde $f$ es un límite uniforme de polinomios (contiunous funciones), en particular, es continua.

Considerar el espacio $C(\mathbb{R})$ de funciones continuas $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y dotarlo de una familia de seminorms $\|\cdot\|_{\infty, [a,b]}$ dada por $$\|g\|_{\infty, [a,b]} = \sup_{x\in[a,b]}|g(x)|$$

para todos los segmentos de $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$.

Esto convierte a $C(\mathbb{R})$ en un localmente convexo espacio vectorial topológico.

Suponga que $f$ se puede aproximar uniformemente por polinomios $(p_k)_k$ grado $\le n$.

El subespacio $\mathbb{R}_{\le n}[x]$ real de los polinomios de grado $\le n$ es un finito dimensionales subespacio de $C(\mathbb{R})$ y por lo tanto es cerrado en $C(\mathbb{R})$. Desde $p_k \to f$ uniformemente en $\mathbb{R}$, en particular, $\|f -p_k\|_{\infty, [a,b]} \to 0$ para todos los segmentos de $[a,b] \subseteq \mathbb{R}$.

Por lo tanto $p_k \to f$ arriba en la topología de lo $f$ es en el cierre de $\mathbb{R}_{\le n}[x]$. Desde el subespacio cerrado, llegamos a la conclusión de $f \in \mathbb{R}_{\le n}[x]$.

Answer 4

Aquí es un enfoque diferente: Denotar $\mathcal{B} [-t,t]$ el espacio de la delimitadas las funciones en el intervalo de $[-t,t]$. Consideramos que este espacio con el supremum norma $\Vert . \Vert _\infty $, lo que la hace una normativa espacio. Indicar el espacio de polinomios con grado en la mayoría de las $d$ por $W=\mathbb{R}_{\leq d} [x] $, estos se continúa así delimitada la función en el intervalo de $[-t,t]$. Pero sabemos más que eso: W es un finito dimensionales subespacio de $\mathcal{B} [-t,t]$ para cada t, por lo tanto es cerrado.

Si usted puede aproximar $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ aritrarily bien $\mathbb{R}$ por elementos en $W$, por supuesto, usted puede aproximado arbitrariamente bien en $\mathcal{B} [-t,t]$ por cada $t>0$ (e $f \in \mathcal{B} [-t,t]$). Pero $W$ es cerrado y por lo tanto $f \vert _{[-t,t]} \in W$ para todos los $t$, es decir, que es un polinomio en cada $[-t,t]$. Pero cada dos polinomios que ponerse de acuerdo sobre un conjunto abierto debe ser el mismo polinomio (tienen la misma derivados, de los que dan los coeficientes, es decir, la Expansión de Taylor), así vemos $f$ es un polinomio en el conjunto de la $\mathbb{R}$