¿Qué es precisamente una partícula * clásica * spin-1/2?

Question

Recientemente estaba teniendo una conversación de Twitter con una UC Riverside Prof. Juan Carlos Báez acerca de Cuantización Geométrica, y él dijo: (acerca de su trabajo) que

"A la derecha. Por ejemplo, usted puede conseguir el cuántico de spin-1/2 de la partícula por la cuantización de la clásica spin-1/2 partícula - algo que su madre probablemente no decirle a usted acerca de."

Entonces le pregunté a aclarar, y su respuesta fue

"Yo estaba hablando acerca de un viejo y simple nonrelativistic spin-1/2 de partículas, cuyo espacio de Hilbert es $\mathbb{C}^2$: el spin-1/2 representación de $SU(2)$."

Ahora, esto me confunde. En su segunda cita que él parece estar hablando precisamente lo que he entendido a ser una cuántico de spin-1/2 de la partícula.

Esto llevó a la siguiente pregunta:

Pregunta: ¿Qué exactamente es un clásico de spin-1/2 de la partícula? Y en qué se diferencia de una cuántico de spin-1/2 de la partícula?

Mi Conjetura: es que un clásico spin-1/2 2-sistema de partículas (con "clásica" spinors en la fundamental de SU(2) $\psi, \chi$) es descrito por el estado $\Psi = \chi \otimes \psi$, donde $\otimes$ es sólo el habitual directa del producto. Un estado , en general, no es anti simétrica en virtud del intercambio $\psi \leftrightarrow \chi $, que si nos imponen anti relaciones de conmutación entre $\chi$ e $\psi$ pasaría a ser cuántico de espín 1/2 partículas.

Contraejemplos para mi conjetura:

Ejemplo 1: Al escribir la generación funcional para QED teoría tenemos que

$$Z[J] = \int [d\Psi][d\bar{\Psi}]e^{i\int d^4x \ i \bar{\Psi}(\not{\partial}-m)\Psi \ -\ ie \bar{\Psi} \gamma^\mu A_\mu \Psi} $$

donde $\Psi$ se conoce como clásica Dirac spinors. Sin embargo, estos siempre están definidos para ser Grassman valorado, y así satisfacer el buen anti relaciones de conmutación, lo que me lleva a creer que mi suposición no puede ser correcta en algún nivel (como es, esencialmente, pone todo el "quantum" en la lucha contra los desplazamientos de la naturaleza de la spinors).

Ejemplo 2: Mi entendimiento es que se trataba de un grupo de teóricos hecho de que

$$ 2\otimes 2 = 3 \oplus 1. $$

No veo ninguna razón por qué esto no debería aguantar dos clásicos spinors (es decir, 2 de SU(2)). Pero luego parece que somos capaces de deducir la suma del momento angular (lo que yo pensaba que era un quantum de resultados), desde la clásica spinors.

Edit: Como @knzhou señaló en los comentarios, Báez puede haber sido simplemente se refiere a una sola partícula de espín 1/2. Así que también voy a plantear la pregunta ¿Cuál es la diferencia entre un spinor $\psi_c$ que describe una clásica de partículas de espín 1/2, y un spinor $\psi_q$ , que describe una cuántico de espín 1/2 de la partícula?

Edit 2: Por la petición en los comentarios que he publicado el enlace a la conversación aquí.

Actualización: Báez desde entonces ha escrito un artículo más consistencia a la noción clásica de partículas de espín 1/2.

Answer 1

Hablando de Dirac spinors es una distracción; el clásico de Dirac poco tiene que ver con una sola clásica de partículas, así como la clásica Klein-Gordan campo no tiene mucho que ver con una sola clásica spinless de partículas.

¿Cuál es la diferencia entre un spinor $\psi_c$ que describe una clásica de partículas de espín 1/2, y un spinor $\psi_q$ , que describe una cuántico de espín 1/2 de la partícula?

Desde Báez está hablando acerca de la cuantización, presumiblemente su 'clásica' y 'quantum' sólo se refiere a la mecánica clásica y la mecánica cuántica como de costumbre. Es decir, un sistema clásico es descrito por un espacio de configuración de colector y una de Lagrange, o por un simpléctica colector y un Hamiltoniano. Para un sistema cuántico, el espacio de estado es, en lugar de un espacio de Hilbert y el Hamiltoniano es un operador en ese espacio.

Cuántico de spin $1/2$ de las partículas tiene espacio de Hilbert $\mathbb{C}^2$ y vive en los fundamentales de la representación de la rotación $SU(2)$. La clásica descripción de un spin $1/2$ de las partículas no es tan conocida, con algunos libros, incluso afirmando que es total y absolutamente imposible, porque la vuelta es un "inherentemente cuántica' fenómeno. Sin embargo, tales afirmaciones son incorrectas; el espín es sólo históricamente asociados con la mecánica cuántica, porque ambos fueron descubiertos alrededor de la misma época. Por ejemplo, este documento cubre el tema principalmente en el formalismo de Hamilton, mientras que en la sección 3.3 de Altland y Simons llega a la clásica spinor mediante la construcción de una ruta integral para un spin $1/2$ de las partículas y tomando el límite clásico.

Answer 2

(Poco después de esta respuesta fue publicado, el más perspicaz de respuesta por knzhou fue publicado. Por favor, consulte knzhou la respuesta de aclaraciones acerca de lo que Juan Báez decir.)

En el contexto de la teoría cuántica, la palabra "clásico" es utilizado con al menos tres relacionados pero diferentes significados:

• Primer significado: Un modelo puede ser llamado "clásico" si sus características observables de todos conmuta con cada uno de los otros y es una buena aproximación a un determinado quantum modelo bajo un conjunto de condiciones determinadas. Ejemplo: "la electrodinámica Clásica."

• Segundo significado: Un modelo puede ser llamado "clásico" si sus características observables de todos conmuta con cada uno de los otros, si es o no es una buena aproximación para cualquier modelo cuántico útil. Ejemplos: "Clásica de Yang-Mills teoría" y "de cuantización canónica de un modelo clásico."

• Tercer significado: Un campo (o de otras variables dinámicas) puede ser llamado "clásico" si se utiliza para la construcción de los observables en un modelo clásico (segunda acepción). Ejemplo: la integración de "variables" en la QED generar funcionales son "clásicos" de los campos.

Por ejemplo, dada la acción $$ S\sim \int d^4x\ \overline\psi (i\gamma\partial-e\gamma)\psi, \etiqueta{1} $$ de Euler-Lagrange ecuación asociada con $\psi$ es la ecuación de Dirac. Este es un clásico modelo (segunda acepción) la participación de un clásico de campo (tercer significado). Esto suena contradictorio, debido a que la ecuación de Dirac es a menudo tratada como una de Schrödinger-como ecuación en la que $\psi$ es la función de onda, pero puede también ser tratados como el de Heisenberg ecuación de movimiento para un operador de campo $\psi$, y este es el sentido en el que el modelo definido por (1) es "clásico."

Ejemplo 1 en el OP se muestra la generación funcional para QED, que tiene la forma $$ \int [d(\text{campos})] \ \exp(es[\text{campos}] ). $$ La acción $S$ en el integrando puede ser considerado, en cambio, como la acción de un modelo clásico (segunda acepción), que implica la clásica fermión campos (tercer significado). El modelo de las características observables de involucrar a todos los productos de un número de estos campos, por lo que las características observables son mutuamente los desplazamientos. Para que esto funcione, el fermión de los campos debe anti-conmuta con cada uno de los otros siempre, no solo cuando están spacelike separados, como los observables en un modelo clásico que debe conmutar el uno con el otro siempre, no solo cuando están spacelike separados.

Ejemplo 2 en el OP ilustra otro giro. En este caso, el spinors podrían no ser las funciones de espacio o de tiempo en absoluto; no son spinor campos (o la dinámica de las variables de cualquier tipo). Son sólo spinors. Esto es suficiente para la introducción de cosas como la relación entre spinors y álgebra de Clifford y cosas como las reglas para la descomposición de la reducible representaciones.

Por el camino, cuando la gente habla de clásicos spinors o clásica spinor campos, que podría ser cualquiera de los desplazamientos o anti-desplazamientos. Estos no son equivalentes, pero la palabra "clásico" se utiliza en ambos casos. Este es uno de los detalles que necesita ser comprobado por el contexto, siempre que la lectura sobre "clásica spinors," como al leer acerca de cosas como las identidades de los productos de varios spinor campos.

Answer 3

En esta pregunta (que fue una de las 1755 preguntas y respuestas que he recibido devuelto después de escribir clásico "spin" en "la Búsqueda de la Física" y presionando "enter") se puede leer:

Dado un clásico spin modelo, $$H=\mathbf{S}_1\cdot \mathbf{S}_2\tag{1}$$ donde $\mathbf{S}_i=(\sin\theta_i \cos\phi_i,\sin\theta_i \sin\phi_i,\cos\theta_i), i=1,2$ es la clásica vuelta.

$H$ es la clásica de Hamilton.

En la conversación de Twitter Báez escribe:

El espacio de fase de la clásica spin-j de la partícula es la esfera, con área igual a 4 pi j. La 2-forma de describir el área de elemento que hace de este espacio en un simpléctica colector.

knzhou escribió en su respuesta:

Es decir, un sistema clásico es descrito por un espacio de configuración de colector y una de Lagrange, o por un simpléctica colector y un Hamiltoniano.

Así que ya tenemos un clásico de Hamilton (en lugar de un operador Hamiltoniano) y un simpléctica colector de Báez está escribiendo sobre una puramente clásica vuelta, de la que también escribe:

Por alguna razón que tienen para el estudio geométrico de cuantización para aprender acerca de la clásica spin-j de partículas, cuya cuantización da la más conocida de la cuántico de spin-j de partículas. No sé por qué esto no es discutido más ampliamente.

Así que resulta (en un contexto geométrico de cuantización o no) que, contrariamente a lo que se enseña en muchas polvo aulas (el por qué es muy bien descrito por knzhou), el clásico de spin-$j$ de las partículas no existen y vuelta es no inherentes a la mecánica cuántica. Báez está muy bien si él escribe que él no entiende por qué no se conoce más ampliamente, y uno tiene que estudiar geométrica de cuantización para cumplir con estos clásicos spin-$j$ partículas.

Answer 4

Shoot me down en llamas si esto está completamente fuera de la pista, (yo he analizado el Báez material brevemente), pero la mención de la clásica vs cuántico de spin trae a la mente:

• el trabajo de Levy LeBlond y la discusión acerca de si el giro es de un SR como contraposición a la de Galileo efecto Relativista

• y, más recientemente, incluso un clásico (no cuántica) efecto.

• También hay la anterior SE rosca la Dependencia de la vuelta en el clásico vs no-física clásica?