¿Existe una superficie cúbica singular que contenga $27$ ¿líneas distintas?

Question

Es bien sabido que una superficie cúbica lisa $X\subset \mathbb{CP^3}$ contiene $27$ líneas distintas. Pero, ¿es también cierto lo contrario?

Sé que esto es cierto para el caso general (entonces el $27$ las líneas se convertirán en $6$ líneas dobles y $15$ líneas individuales). Pero quiero saber si es cierto para todos los casos.

Answer 1

Sí, lo contrario también es cierto. Esto debería poder demostrarse a mano, ya que las posibilidades de superficies cúbicas singulares no son tantas. En su lugar, lo deduciré utilizando algunos hechos más generales. En este caso mi demostración es probablemente exagerada, pero utiliza algunas ideas que son útiles en otros contextos.

Considere la correspondencia de incidencia $I $ definido por

$$I = \{ (L,S) \mid L \text{ a line}, \ S \text{ a cubic surface}, \ L \subset S \} \subset \mathbf G(1,3) \times \mathbf P^{19}$$

Hay un mapa de proyección $$\pi: I \rightarrow \mathbf P^{19}$$

cuya fibra sobre un punto $[S] \in \mathbf P^{19}$ es exactamente el conjunto de líneas de la superficie $S$ . Así que sabemos que si $S$ es una cúbica suave, la fibra $\pi^{-1}([S])$ consta exactamente de 27 puntos. Queremos demostrar que para $S$ no es suave, la fibra es infinita o tiene menos de 27 puntos.

Hay dos subconjuntos de interés en el interior $\mathbf P^{19}$ el locus discriminante $\Delta$ formado por los puntos correspondientes a las superficies singulares, y el lugar de la rama $B(\pi)$ formado por puntos correspondientes a superficies con un número infinito o estrictamente inferior a 27 líneas. Por el resultado de los cúbicos lisos sabemos $B(\pi) \subset \Delta$ y queremos demostrar la igualdad de estos dos subconjuntos.

Para ello utilizamos dos hechos:

• $\Delta$ es un divisor irreducible en $U$
• $B(\pi)$ es un subconjunto no vacío de codimensión 1 en $U$

(El primer hecho es una afirmación general sobre el lugar de las hipersuperficies singulares de grado $d$ en $\mathbf P^n$ . El segundo hecho es (parte de) lo que se denomina "pureza del locus de la rama", como lo demostró Zariski).

Así que desde $\Delta$ es irreducible y contiene el divisor $B(\pi)$ Debemos tener $B(\pi)=\Delta$ como se ha reclamado.